La deviazione standard indica la distribuzione dei dati attorno alla media. Una piccola deviazione standard significa che i dati sono strettamente raggruppati; uno grande significa che è ampiamente disperso.
Perché la deviazione standard è importante
Due classi hanno entrambe una media del 75% in un test. Ma nella Classe A, i punteggi vanno dal 70 all’80%. Nella Classe B, i punteggi vanno dal 40 al 100%. La media nasconde informazioni importanti, la deviazione standard le rivela.
La Formula
Per una popolazione (tutti i dati):
σ = √[ Σ(x - μ)² / N ]
Per un campione (sottoinsieme di dati):
s = √[ Σ(x - x̄)² / (n-1) ]
Dove:
- σ (sigma) = deviazione standard della popolazione
- s = deviazione standard del campione
- x = ciascun valore
- μ o x̄ = media
- N = dimensione della popolazione, n = dimensione del campione
La formula di esempio si divide per n-1 (non n) per correggere la distorsione durante la stima da un sottoinsieme.
Esempio passo passo
Dati: 4, 7, 13, 2, 9 (campione di 5 valori)
Passaggio 1: Calcola la media:
Mean = (4 + 7 + 13 + 2 + 9) / 5 = 35 / 5 = 7
Passaggio 2: Sottrai la media da ciascun valore e quadrato:
| X | x - significa | (x - media)² |
|---|---|---|
| 4 | -3 | 9 |
| 7 | 0 | 0 |
| 13 | 6 | 36 |
| 2 | -5 | 25 |
| 9 | 2 | 4 |
Passaggio 3: Somma le differenze al quadrato: 9 + 0 + 36 + 25 + 4 = 74
Passaggio 4: Dividere per n-1 = 4: 74/4 = 18,5
Passaggio 5: Calcola la radice quadrata: √18,5 ≈ 4,30
Deviazione standard = 4,30
La regola 68-95-99.7
Per dati distribuiti normalmente:
- Il 68% dei valori rientra in ±1 deviazione standard della media
- Il 95% rientra entro ±2 deviazioni standard
- Il 99,7% rientra entro ±3 deviazioni standard
Esempio: Altezze con media 170 cm, DS 10 cm:
- Il 68% ha un'altezza compresa tra 160 e 180 cm
- Il 95% è compreso tra 150 e 190 cm
Applicazioni del mondo reale
- Finanza: misura la volatilità degli investimenti (rischio)
- Produzione: controllo qualità: i prodotti al di fuori di ±3σ sono difetti
- Medicina: identificazione dei risultati anomali dei test
- Istruzione: valutazione su una curva
Utilizza il nostro Calcolatore della deviazione standard per calcolare media, mediana, varianza e deviazione standard per qualsiasi set di dati.