Un punteggio z misura quante deviazioni standard un valore è dalla media. È il fondamento dell'inferenza statistica e consente di convertire qualsiasi distribuzione normale in una scala standardizzata in cui è possibile trovare le probabilità utilizzando una tabella normale universale o un calcolatore.
La Formula
z = (x - μ) / σ
Dove:
- x = il valore che stai valutando
- μ (mu) = media della popolazione
- σ (sigma) = deviazione standard della popolazione
Un punteggio z pari a 0 significa che il valore è uguale alla media. I punteggi z positivi sono superiori alla media; i punteggi z negativi sono riportati di seguito. La magnitudo indica la distanza in deviazioni standard.
Esempio realizzato
Un esame di ammissione all'università ha media 500 e deviazione standard 100. Il tuo punteggio è 650. Qual è il tuo punteggio z?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Il tuo punteggio è 1,5 deviazioni standard sopra la media. Utilizzando la tabella normale standard, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, significa che circa il 93,32% dei partecipanti al test ha ottenuto un punteggio inferiore al tuo.
Utilizzo delle tabelle Z-Score
Dopo aver calcolato z, si cerca la sua probabilità in una tabella normale standard, che fornisce le probabilità cumulative P(Z ≤ z). Le tabelle mostrano:
- Probabilità a una coda: P(Z ≤ z) o P(Z ≥ z)
- Probabilità a due code: utili per intervalli di confidenza e test di ipotesi
Ad esempio, z = 1,96 corrisponde a P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. L'area in entrambe le code oltre z = ±1,96 è 0,05, motivo per cui 1,96 è il valore critico per gli intervalli di confidenza al 95%.
Limiti comuni del punteggio Z
| Punteggio Z | Probabilità cumulativa | percentile |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13 |
| -2 | 0.0228 | 2.28 |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50esimo |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97.72 |
| 3 | 0.9987 | 99,87 |
Quando usarlo
I punteggi Z sono essenziali per:
- Confronto di valori di diverse distribuzioni
- Trovare le probabilità utilizzando la distribuzione normale
- Identificazione degli outlier (solitamente |z| > 3)
- Verifica di ipotesi e intervalli di confidenza
- Standardizzazione dei punteggi dei test
Suggerimenti
I punteggi Z funzionano solo per dati distribuiti normalmente. Se la tua distribuzione è gravemente distorta o presenta code pesanti, i punteggi z saranno fuorvianti. Inoltre, ricorda la differenza tra z (parametro della popolazione) e t (statistica campionaria): usa z quando σ è noto, t quando lo stimi dal campione.
Utilizza il nostro Calcolatore Z-Score per convertire i punteggi in z-score e trovare istantaneamente le probabilità.