とは何か Black-Scholes Option Pricing?
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ブラック・ショールズ モデルは、ヨーロピアン スタイル オプションの公正価格を計算します。これは、将来の特定の日に固定価格で株式を購入 (コール) または売却 (プット) する権利を与えるものであり、義務ではありません。 1973 年以前は、オプションの価格は直感と交渉によって決められていました。フィッシャー・ブラックとマイロン・ショールズは、5つの観察可能な入力が与えられた場合に、オプションの価格設定を数学的確実性として扱う単一の方程式ですべてを変えました。ロバート・マートンの改良と合わせて、この研究によりショールズとマートンは 1997 年のノーベル経済学賞を受賞し、数百兆ドルの価値がある現代のデリバティブ市場が誕生しました。このモデルでは、株価が一定のボラティリティでランダムウォークをたどること、配当がなく、取引コストなしで継続的に取引できることを前提としています。実際、トレーダーはこれをベンチマークとして使用します。現在の市場価格を入力して、株式がどれだけ動くかについての市場のコンセンサス予測である「インプライド・ボラティリティ」を逆算します。すべてのオプション トレーダーはインプライド ボラティリティを監視しています。これにより、オプションが過去と比較して割安か割高かを知ることができます。インプライド・ボラティリティが高い場合、オプションのコストは高くなります。低ければコストも安くなります。このモデルには既知の限界があります。つまり、極端な市場変動（ファットテール）の確率が過小評価され、早期に行使できる米国スタイルのオプションが分解されます。しかし、すべてのオプションの価格設定とリスク管理の普遍的な出発点であることに変わりはありません。
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公式
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コール価格 = S・N(d₁) − K・e^(−rT)・N(d₂)
プット価格 = K・e^(−rT)・N(−d₂) − S・N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)・T] / (σ・√T)
d₂ = d₁ − σ・√T
N(x) = 標準正規累積分布関数変数の説明
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| 記号 | 名前 | 単位 | 説明 |
|---|---|---|---|
| S | 現在の株価 | currency | 現在の株価値。ブラック ショールズの計算における重要な入力パラメーターとして機能し、計算された出力結果の大きさと精度に直接影響します。 |
| K | 権利行使価格 | currency | 権利行使価格値。ブラック ショールズ計算の重要な入力パラメーターとして機能し、計算された出力結果の大きさと精度に直接影響します。 |
| r | リスクフリーレート | % per year | リスクフリー レートの値。ブラック ショールズ計算の重要な入力パラメータとして機能し、計算された出力結果の大きさと精度に直接影響します。 |
| T | 有効期限までの時間 | years | オプションの有効期限が切れるまでの残り時間 (年単位で表示) (例: 90 日 = 0.247 年) |
| σ | ボラティリティ | % per year | 株価の対数リターンの年換算標準偏差。モデルの重要かつ唯一の観察不可能な入力 |
方法 Black-Scholes Option Pricing
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- 1現在の株価 (S)、権利行使価格 (K)、リスクフリー レート (r)、満期までの期間 (T)、および予想ボラティリティ (σ) の 5 つの入力を収集します。
- 2d₁ を計算します。これは、時間とボラティリティを調整して、オプションがどの程度インザマネーであるかを取得します。
- 3d₂ = d₁ − σ√T を計算します。これは、株の経路の不確実性のために下方調整された d₁ です。
- 4標準正規分布から N(d₁) と N(d₂) を調べます。これらは、イン・ザ・マネーでオプションが期限切れになる確率を表します。
- 5コールの場合: 株価に N(d₁) を乗算し、N(d₂) を乗算した割引権利行使価格を減算します。
- 6put の場合: put-call パリティまたは直接 put 式を使用します。 Put = Call − S + K・e^(−rT)。
- 7モデルの価格を市場価格と比較します。それらが異なる場合、その違いは異なるボラティリティの仮定、つまり暗黙のボラティリティが市場の実際のシグナルであるという仮定によって説明されます。
解いた例
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アット・ザ・マネー オプション (S=K) が最も一般的に取引されます。価格はボラティリティの変化に最も敏感です。
株価がまさに権利行使価格にある場合、オプションには本質的な価値はありません。10.45 ドルはすべて時間価値です。プレミアムの約半分は株価が 100 ドルを超える可能性から生じ、金利要素 (お金の時間的価値) がストライキのわずかな割引を占めます。
ボラティリティが高いため、アウト・オブ・ザ・マネーのオプション価格は劇的に高騰しており、株価が25％上昇するまでに6カ月かかる。
アウトオブザマネーが 20% であるにもかかわらず、インプライド ボラティリティが高く (40%)、残りが 6 か月あるため、このオプションには意味のある価値があります。年率40%のボラティリティは、6か月間のおよそ±25%の変動が1標準偏差以内に収まることを意味し、100ドルへの上昇が現実的となる。
ディープ・イン・ザ・マネーのプットの価格は本質的価値 (K−S=$30) に近く、わずかな時間プレミアムが付きます。
プットはこれまでのところインザマネーであるため、本質的価値である 30 ドルのほぼ全額に相当します。 30 ドルからのわずかな割引は、待つことで得られるリスクのない利息を反映しています (株を空売りして 100 ドルを 3% で投資することもできます)。このプットがイン・ザ・マネーで期限切れになるかどうかについての不確実性がほとんどないため、時間プレミアムは小さくなります。
トレーダーはブラックショールズを逆に使用して、オプション価格から市場のボラティリティ予測を抽出します。
20% のボラティリティでのモデル価格がわずか 5.50 ドルであるのに、市場が 8.00 ドルで取引されている場合、市場はより高いボラティリティ (約 28.5%) を示唆しています。このインプライド・ボラティリティは本当のシグナルであり、市場が平均よりも大きな値動きを予想していることを示しています。トレーダーは暗黙のボラティリティと過去のボラティリティを比較して、オプションが安いか高いかを判断します。
実際の応用
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世界中の取引所で株式、インデックス、ETF オプションの価格設定を行うことで、実務家が検証済みの計算手法と業界標準のアプローチに基づいて、十分な情報に基づいた定量的な意思決定を行うことができます。これには、証拠に基づく意思決定、戦略的なリソース配分、および多様な組織状況や専門分野にわたるパフォーマンスの最適化をサポートするための正確な定量分析が必要です。
財務報告 (ASC 718 / IFRS 2) のために従業員のストック オプションを評価し、アナリストが組織全体の戦略計画、リソース割り当て、パフォーマンス ベンチマークをサポートする正確な結果を生み出すのを支援します。企業と個人の両方の設定で計画、評価、継続的改善プロセスに情報を提供する信頼性の高い出力を生成するには、正確な数値計算が不可欠です。
インプライド・ボラティリティを抽出して VIX 指数やその他の出来高ベンチマークを構築し、専門家が信頼できる数学的フレームワークと確立された公式を使用して結果を体系的に定量化し、シナリオを比較できるようにします。日々の専門活動において定量的な厳密さに依存する利害関係者にとって、生の入力データを実用的な洞察に変換する体系的な計算アプローチが必要です。
モデルから計算されたデルタ、ガンマ、ベガを使用したヘッジ オプション ブック。コンプライアンス、レポート、最適化の目的に数値精度が不可欠なデータ駆動型の評価プロセスをサポートします。専門的な環境でのレポート作成、監査、および長期傾向分析に適した一貫した検証可能な結果を提供する堅牢な計算手法が必要です。
特殊なケース
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配当株
標準モデルでは配当は無視されます。既知の配当金を支払う株式の場合は、計算式を適用する前に、現在の株価から予想配当金の現在価値を差し引きます。継続配当利回り (インデックス オプションに共通) の場合、S を S·e^(−qT) に置き換えます。ここで、q は継続配当利回りです。これは Merton (1973) の拡張です。
有効期限が非常に短い、または非常に長い
有効期限 (日) が近づくと、株価が権利行使価格に近い場合、モデルは不正確な結果を生成する可能性があります。確率関数は小さな入力の変化に非常に敏感になります。非常に長期のオプション (LEAPS、2 年以上) の場合、金利の不確実性と平均回帰傾向により、一定のボラティリティの仮定がますます非現実的になります。
バイナリーオプションとバリアオプション
標準形式のブラック・ショールズは、バリア（価格しきい値でアクティブまたは非アクティブになるオプション）やバイナリー（条件が満たされた場合の固定ペイオフ）などのエキゾチックなオプションの価格を設定しません。これらは修正された式または数値的手法を必要としますが、その導出にはブラック ショールズの構成要素が含まれています。
コール オプションの概算価格 — S=100 ドル、r=4%、T=0.5 年
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| ストライク(K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (ディープ ITM) | $21.50 | $22.60 | $24.10 | $26.80 |
| $95 (わずかな ITM) | $7.80 | $9.90 | $12.10 | $15.30 |
| 100ドル（ATM） | $4.30 | $7.10 | $9.80 | $13.50 |
| $105 (わずかな OTM) | $2.00 | $4.90 | $7.60 | $11.40 |
| $120 (ディープ OTM) | $0.10 | $1.20 | $3.20 | $7.00 |
よくある質問
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インプライド・ボラティリティとは何ですか?なぜそれが重要なのでしょうか?
インプライド ボラティリティ (IV) は、ブラック ショールズの公式に当てはめると、オプションの現在の市場価格を生み出すボラティリティの値です。これは、将来の価格変動に関する市場のコンセンサス予測を表します。 IVが高い場合、オプションは高価になります。市場は大きな動きを恐れます。 IVが低い場合、オプションは安くなります。トレーダーは現在の IV を過去のボラティリティと比較して、割高または割安なオプションを見つけます。 「恐怖ゲージ」とも呼ばれる VIX 指数は、S&P 500 オプションの暗黙のボラティリティです。
なぜブラックショールズはアメリカのオプションの価格を正確に見積もることができないのでしょうか?
アメリカン・オプションは満了前であればいつでも行使できるため、ブラック・ショールズのクローズド・フォーム・フォーミュラでは獲得できない早期行使プレミアムが生み出される。無配当株に対する米国のコールの場合、早期権利行使は決して最適ではないため (オプションを売ったほうがよいでしょう)、ブラック・ショールズのコール価格は正確です。米国の高配当株のプットとコールの場合、実務者は二項ツリー (コックス・ロス・ルービンシュタイン モデル) または有限差分スキームなどの数値手法を使用します。
ボラティリティ・スマイルとは何ですか?なぜ発生するのでしょうか?
ブラック・ショールズの理論が完全に正しければ、インプライド・ボラティリティはすべての権利行使価格にわたって一定となるでしょう。実際には、アウト オブ ザ マネーのプット (クラッシュ保険) はアット ザ マネー オプションよりも高いインプライド ボラティリティで取引され、アウト オブ ザ マネーのコールでも IV が上昇することがあります。ボラティリティ・スマイルまたはスキューと呼ばれるこのパターンは、ブラック・ショールズが過小評価しているテールイベントに対する市場参加者の恐怖を反映しています。それは1987年の株式市場の暴落後に顕著に現れました。
デルタはオプションについて何を教えてくれますか?
デルタ (∂V/∂S) は、株式が 1 ドル動くとオプション価格がどれだけ変化するかを示します。デルタ 0.60 は、株価が 1 ドル上昇するとオプション価格が 0.60 ドル増加することを意味します。デルタは、オプションがイン・ザ・マネーで期限切れになる確率も近似します。0.60 デルタ・コールでは、イン・ザ・マネーで期限切れになる確率は約 60% です。トレーダーはヘッジにデルタを使用します。「デルタ ニュートラル」にするには、オプションのデルタに比例して株式を保有し、方向性エクスポージャーを相殺します。
時間減衰（シータ）はオプションの価値にどのように影響しますか?
オプションは有効期限が近づくと価値を失います。この侵食は時間減衰またはシータと呼ばれます。他のすべてが同じであれば、オプションは時間の経過だけで毎日価値を失います。アット・ザ・マネーのオプションは絶対的な時間減衰が最も大きくなります。ディープ・イン・ザ・マネーまたははるかにアウト・オブ・ザ・マネーのオプションはシータが低くなります。これが、オプションを購入するには、継続的な時間価値の低下を相殺するのに十分な株価の変動が必要である理由です。オプションの購入者は、ポジションを保有する毎日、時間の低下と戦っています。
ブラックショールズは暗号通貨オプションに使用できますか?
はい、重要な注意事項があります。ブラック・ショールズは、適切なインプライド・ボラティリティを入力すると、暗号オプションの価格を設定できます。ビットコイン オプションは Deribit と CME で取引され、IV は多くの場合 50 ～ 150% の範囲で、株式市場よりもはるかに高くなります。モデルの一定のボラティリティの仮定は、ボラティリティ自体の変動性が高い（「ボリュームのボリューム」と呼ばれることが多い）暗号通貨ではさらに違反されます。確率的ボラティリティを許容する SABR や Heston などのより洗練されたモデルは、正確な暗号オプションの価格設定に適しています。
フィッシャー・ブラックとは誰ですか?なぜ彼がノーベル賞受賞者ではないのですか?
フィッシャー ブラックは応用数学者であり金融経済学者であり、マイロン スコールズとこのモデルを共同開発しました。彼はゴールドマン・サックスでこのモデルを実際に適用して働いていました。ノーベル経済学賞は、オプション価格設定手法に関する業績により、1997 年にショールズ氏とロバート・マートン氏に授与されました。フィッシャー・ブラックは、受賞の2年前の1995年8月に咽頭癌で亡くなっていた。ノーベル賞は死後に授与されるものではないため、ブラックは明示的に表彰されたものの、受賞することはできなかった。
避けるべきよくある間違い
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- !過去のボラティリティを直接使用する — モデルでは、過去ではなく、暗黙のボラティリティまたは将来の予測を使用する必要があります。最近の過去の出来高を使用すると、収益などの不安定なイベントの前にオプションの価格が安くなる可能性があります。
- !年に変換せずに時間を日単位で差し込む — T は年単位である必要があります (取引日の場合は日/365 または日/252)。
- !配当金を支払う株式の配当を無視すると、配当調整を省略すると、権利落ち日付近で配当金を支払う人のコールが大幅に過大評価され、プットが過小評価されます。
- !モデルの出力を「正しい」市場価格として扱う - モデルはベンチマークです。リアルオプションは、需要と供給および流動性によって決定される価格で取引されます。
プロのヒント
行使期間または満期間でオプションを比較する場合は、オプション価格ではなくインプライド・ボラティリティを比較してください。オプションはドルの観点から見ると安く見えますが、ボラティリティの観点から見ると高価かもしれません。相対的な価値の機会を特定するために、常に IV サーフェス (ストライクと満期にわたる暗黙のボラティリティの 3D マップ) を見て正規化します。
ご存知でしたか？
ブラック・ショールズ・モデルにより、シカゴ・オプション取引所 (CBOE) は 1973 年 4 月に開設されました。文字通り、この論文が発表されたのと同じ月です。 10 年以内に、オプション取引量は 1 日あたり数千件から数百万件へと爆発的に増加しました。この計算式は非常に影響力があったため、テキサス・インスツルメンツは出版直後にブラック・ショールズで事前にプログラムされた特別なポケット電卓を製造しました。
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参考文献
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