3 次方程式は 3 次の多項式で、一般形式は ax3 + bx² + cx + d = 0 です。 2 次方程式とは異なり、3 次方程式は 1、2、または 3 つの実数解を持つことができ、ほとんどの人が学校で習うような単純な閉形式を持ちません。ただし、これらはカルダノの公式または数値的手法を使用して解決できます。
一般的な形式
ax³ + bx² + cx + d = 0
a ≠ 0 (それ以外の場合は 3 次ではありません)。方程式には次のものが含まれます。
- 3 つの異なる実際のルート
- 1 つの実根と 2 つの複素共役根
- 繰り返されるルート (判別式がゼロに等しい場合)
カルダノの公式
Cardano の公式を使用するには、まず x = t - b/(3a) を代入して 3 次を圧縮します (x² 項を削除します)。
t³ + pt + q = 0
次に、判別式を含む複雑な式を使用して根が求められます。
Δ = -4p³ - 27q²
Δ > 0 の場合: 3 つの異なる実根 Δ = 0 の場合: 少なくとも 2 つの等しい実根 Δ < 0 の場合: 1 つの実数根と 2 つの複素共役根
実際に動作した例
x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 を解きます。
検査または試行によって、小さな整数をテストできます。 x = 1 のテスト:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
したがって、x = 1 はルートです。因数分解 (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
3 つの根は x = 1、2、3 です。
因数分解を行わずに根を求める
うまく因数分解されない 3 次方程式の場合は、次を使用します。
- カルダノの公式 (代数的には正確だが複雑)
- ニュートン・ラフソンのような数値的手法 (反復、一度に 1 つの根を見つける)
- グラフを作成して根を推定し、Newton-Raphson で改良する
アプリケーション
3 次方程式は次の場所に表示されます。
- 工学（応力ひずみ解析、流体力学）
- 物理学 (抵抗媒体、立方体材料における発射体の動き)
- 経済学 (最適化問題、生産コスト曲線)
- コンピュータグラフィックス（3次ベジェ曲線）
ヒント
有理根が疑われる場合は、有理根定理を使用してください。有理根 p/q には、p が d を割り、q が a を割ります。これにより、テスト候補者が大幅に絞り込まれます。ルートは必ず置換によって検証してください。
3次方程式ソルバー を使用すると、実数か複素数かに関係なく、すべての根を瞬時に見つけることができます。