ピタゴラスの定理は、数学全体の中で最も有名な結果の 1 つです。一行で説明できるほど単純ですが、370 を超える証明が知られているほど奥深いものです。公式から実際の応用まで、知っておくべきすべてがここにあります。
数式
任意の直角三角形 (90 度の角が 1 つある三角形) の場合:
a^2 + b^2 = c^2
ここで、a と b は 2 本の脚 (直角を形成する辺) で、c は斜辺 (直角の反対側、常に最長の辺) です。
それぞれの側面を見つける
斜辺を求める (c):
c = √(a^2 + b^2)
脚の検索 (a):
a = √(c^2 - b^2)
もう一方の脚を見つける (b):
b = √(c^2 - a^2)
実用的な例
例 1: 直角三角形には 3 cm と 4 cm の脚があります。斜辺を見つけます。
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
例 2: 長さ 10 メートルのはしごが壁に立てかけられており、その根元は壁から 4 メートル離れています。どのくらいの高さまで届きますか？
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9.17 メートル
ピタゴラス トリプル
ピタゴラス トリプルは、a² + b² = c² を満たす 3 つの整数のセットです。これらは問題でよく出てくるので、覚えておく価値があります。
| ある | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
トリプルの倍数もトリプルです: (6, 8, 10)、(9, 12, 15)、(15, 20, 25) はすべて機能します。
簡単な証明
最もエレガントな証明は領域を使用します。 (a + b) の辺を持つ大きな正方形を描きます。その中に、足aとbが付いた直角三角形のコピーを4つ配置します。
4 つの三角形は、4 × (1/2ab) = 2ab の面積を占めます。大きな正方形の残りのスペースは c² (斜辺上の正方形) でなければなりません。
大きな正方形の面積は (a + b)² = a² + 2ab + b² です。
つまり、a² + 2ab + b² − 2ab = c²
したがって、a² + b² = c²
現実世界のアプリケーション
建設と大工仕事
「3-4-5 ルール」は、建設現場で角が完全に直角であることを確認するために毎日使用されます。 1 つの壁に沿って 3 単位、隣接する壁に沿って 4 単位を測定し、対角線が正確に 5 単位であることを確認します。そうであれば、角度はちょうど 90° になります。
ナビゲーション
GPS が登場する前は、ナビゲーターは定理を常に使用していました。東に 30 km、次に北に 40 km 移動すると、スタート地点からの直線距離は √(30² + 40²) = √2500 = 50 km になります。
最新の GPS システムは、定理の 3D 拡張を使用して座標間の距離を計算します。
画面サイズ
「65 インチ テレビ」の画面対角寸法は 65 インチです。アスペクト比 (16:9) がわかっている場合は、定理を使用して正確な幅と高さを見つけることができます。 65 インチ 16:9 画面の場合: 幅 ≈ 56.7 インチ、高さ ≈ 31.9 インチ。
工学と物理学
この定理は、構造工学 (耐荷重対角線の計算)、コンピューター グラフィックス (3D シーンのレンダリング)、および物理学 (合成ベクトル、つまり直角の 2 つの力の結合効果の計算) の基礎となります。
3D 拡張: 距離式
ピタゴラスの定理は自然に 3 次元に拡張されます。
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
これは、コンピュータ グラフィックス、物理シミュレーション、GPS 計算、および 3D 座標を扱うあらゆるシステムで使用されます。
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無料の計算ツールを使用して、他の 2 つの直角三角形の辺を見つけます。任意の 2 つの側面を入力すると、段階的に作業しながら、即座に 3 つ目の側面を取得できます。