期待値 (EV) は、考えられるすべての結果の確率加重平均です。これは、イベントを何度も繰り返した場合に平均して何が得られると予想されるかを示します。

数式

E(X) = Σ (probability × value)

すべての (確率 × 結果) ペアを合計します。

簡単な例: コインフリップ ベット

公平なコイントス:

  • 表: £10 を獲得
  • テイルズ: £8 を失う
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1

解釈: 平均すると、フリップごとに £1 を獲得できます。これは繰り返し行う価値のある EV への前向きな賭けです。

例: 保険

年間 200 ポンドの電話保険に加入する必要がありますか?

仮定する：

  • 5% の確率で携帯電話が損傷する (修理費用: £400)
  • 95%の確率でダメージを受けません

保険なしの予想費用:

E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20

保険費用: £200

予想損害額 20 ポンドに対して保険料は 200 ポンドです。つまり、予想費用の 10 倍を支払うことになります。数学的には、保険はマイナスの EV 決定です。ただし、リスク軽減は、400 ポンドの損失を許容できない場合は、プレミアムを支払う価値があるかもしれません。

ギャンブル: ハウスエッジ

ヨーロピアン ルーレット (37 個の数字、0 ～ 36)。単一の数字に £1 を賭けます。

  • 勝利: 37 分の 1 のチャンス、配当 = £36 (35:1 + 賭け金)
  • 負け: 37 回中 36 回のチャンス
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027

予想される損失 = 1 ポンドのベットあたり £0.027 = 2.7% ハウス エッジ。

1 ポンドあたり 1,000 回以上のスピン:

Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27

ビジネス上の意思決定

企業は製品を発売するかどうかを決定しています。

結果 確率 損益
大きな成功 20% +500,000ポンド
中程度の成功 40% +100,000ポンド
とんとん 25% £0
失敗 15% −20万ポンド 
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000

EVがプラス→プロジェクトを進める。

期待値の制限

  • 差異が重要: 200 ポンドを獲得する 50% の確率と特定の 100 ポンドでは、EV は同じですが、リスク プロファイルが大きく異なります。
  • 単一イベント: EV は、多数回の繰り返しにおける平均結果のみを保証します
  • 効用とお金: 人々はお金を非線形に評価します (リスク回避)。 1,000ポンドを失うことは、1,000ポンドを得るよりも痛いです。

ポーカーにおける EV

プロのポーカーでは、すべての決定に対してポット オッズと期待値を計算します。賭けのEVがプラスの場合は、短期的な結果に関係なく賭けを行う必要があります。

EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)