GCD と LCM は、分数の簡略化、方程式の解法、および問題のスケジュール設定に使用される基本的な数論の概念です。ここではすべての方法をわかりやすく説明します。
定義
GCD (最大公約数) — GCF (最大公約数) または HCF (最高公約数) とも呼ばれます — は、両方の数値を剰余なしで除算する最大の正の整数です。
LCM (最小公倍数) は、両方の数値で割り切れる最小の正の整数です。
GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b
この関係は、一方を見つけたらもう一方を計算できることを意味します。
LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCD(a, b)
方法 1: 素因数分解
こんな方に最適: 理解、小さな数値、一度に複数の数値。
GCD の手順:
- 各数値を素因数分解する
- 共通素因数を見つける
- 共通因数の最小累乗を乗算します。
LCM の手順:
- 各数値を素因数分解する
- すべての素因数の最高累乗を乗算します。
例: 36 と 48 の GCD と LCM
素因数分解:
- 36 = 2² × 3²
- 48 = 2⁴ × 3
GCD: 共通因数は 2 と 3 です。最小のべき乗を取得します。
- GCD = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12
LCM: すべての要素。最高の権限を取得します。
- LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144
検証: 36 × 48 = 1,728 = 12 × 144 ✓
方法 2: ユークリッド アルゴリズム (GCD)
次の場合に最適: 大きな数値 - 因数分解よりもはるかに高速です。
重要な洞察: GCD(a, b) = GCD(b, a mod b)、余りが 0 になるまで繰り返します。
GCD(a, b):
while b ≠ 0:
r = a mod b
a = b
b = r
return a
例: GCD(252, 105)
| ステップ | ある | b | r = a mod b |
|---|---|---|---|
| 1 | 252 | 105 | 42 |
| 2 | 105 | 42 | 21 |
| 3 | 42 | 21 | 0 |
GCD = 21 (ゼロ以外の最後の剰余)
例: GCD(1071, 462)
| ステップ | ある | b | r |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 | 462 | 147 |
| 2 | 462 | 147 | 21 |
| 3 | 147 | 21 | 0 |
GCD = 21
方法 3: 分割/ラダー法
こんな方に最適: GCD と LCM の両方を同時に見つける、視覚的な学習者。
両方の数値を最小公倍数で繰り返し割ります。
例: 12 と 18 の GCD と LCM
2 | 12 18
3 | 6 9
| 2 3
GCD = 使用される約数の積 = 2 × 3 = 6 LCM = 約数の積 × 残りの数 = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
3 つ以上の数値の最小公倍数
例: LCM(4, 6, 10)
素因数分解:
- 4 = 2²
- 6 = 2 × 3
- 10 = 2 × 5
各素数の最高べき乗を計算します: 2² × 3 × 5 = 60
検証: 60 ÷ 4 = 15 ✓、60 ÷ 6 = 10 ✓、60 ÷ 10 = 6 ✓
現実世界のアプリケーション
分数の簡略化: 分子と分母を GCD で割ります。
- 24/36: GCD(24,36) = 12 → 24/36 = 2/3
分母が異なる分数の加算: 分母の最小公倍数を求めます。
- 1/4 + 1/6: LCM(4,6) = 12 → 3/12 + 2/12 = 5/12
スケジュールの問題: 「2 台のバスが同時に出発します。1 台は 12 分ごとに、もう 1 台は 18 分ごとに出発します。またいつ一緒に出発しますか?」
- LCM(12, 18) = 36 → 36 分ごと
材料の切断: 「1枚の板は36cm、もう1枚の板は48cmです。両方の板から無駄なくカットできる同じ長さの最長のものは何ですか?」
- GCD(36, 48) = 12 cm
簡単なメンタルチェック
GCD は常に ≤ 小さい方の数値です LCM は常に ≥ 大きい値です GCD(a,b) = 1 の場合、数値は互いに素です — LCM(a,b) = a × b
例: GCD(7, 13) = 1 (両方とも素数、共通因数なし) → LCM = 7 × 13 = 91