半減期は、物質の半分が崩壊または変化するのにかかる時間です。それは核物理学、薬学、化学、考古学など、何かが指数関数的に減少する場合にはどこでも現れます。

半減期の計算式

N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)

または同等に:

N(t) = N₀ × e^(−λt)

どこ：

  • N(t) = 時刻 t における残量
  • N₀ = 初期数量
  • t1/2 = 半減期
  • λ = 減衰定数 = ln(2) ÷ t1/2 ≈ 0.693 ÷ t1/2
  • e = オイラー数 (2.718...)

基本的な半減期の計算

半減期が n 回経過した後はどれくらい残りますか?

Remaining fraction = (½)^n = 1 ÷ 2^n
経過した半減期 残りの端数 パーセンテージ
1 1/2 50%
2 1/4 25%
3 1/8 12.5%
4 1/16 6.25%
5 1/32 3.125%
7 1/128 0.78%
10 1/1024 0.098%

例: 半減期が 10 日の物質 200 g、30 日後:

  • 半減期の数 = 30 ÷ 10 = 3
  • 残り = 200 × (1/2)3 = 200 × 0.125 = 25 g

いつでも残量を確認

N(t) = N₀ × (½)^(t/t½)

例: 500 mg の物質、半減期 = 8 時間。 20時間後にはどれくらい残っていますか？

  • N(20) = 500 × (1/2)^(20/8)
  • N(20) = 500 × (0.5)^2.5
  • N(20) = 500 × 0.1768 = 88.4 mg

残量から経過時間を求める

t = t½ × log(N(t)/N₀) ÷ log(½)

または: t = t1/2 × ln(N₀/N(t)) ÷ ln(2)

例: 1,000 g から開始、半減期 = 5 年。 62.5gが残るのはいつですか？

  • 62.5/1,000 = 0.0625 = (1/2)^n → n = 4 半減期
  • t = 4 × 5 = 20年

減衰定数

λ = ln(2) ÷ t½ ≈ 0.693 ÷ t½

崩壊定数 λ は、原子核が崩壊する単位時間当たりの確率です。これは指数関数的減衰の式で使用されます。

N(t) = N₀ × e^(−λt)

例: 半減期 = 20 分:

  • λ = 0.693 ÷ 20 = 0.03466/分
  • 60 分後: N = N₀ × e^(−0.03466 × 60) = N₀ × e^(−2.079) = N₀ × 0.125

これにより、60 分 = 3 半減期 → 残り 12.5% が確認されます ✓

放射性同位体の半減期

アイソトープ 人生の半分 使用
カーボン14 5,730年 放射性炭素年代測定
ウラン-238 44億7千万年 地質年代測定
ヨウ素131 8.02日 甲状腺がんの治療
テクネチウム-99m 6.01時間 医用画像処理
ポロニウム-210 138.4日 —
ストロンチウム90 28.8年 核放射性降下物への懸念

炭素年代測定: 実用化

炭素 14 の半減期は 5,730 年で、すべての生物に存在します。生物が死ぬと、新しい C-14 の吸収が停止するため、C-14 と C-12 の比率は予想通り減少します。

Age = t½ ÷ ln(2) × ln(N₀/N)

例: サンプルには元の C-14 が 25% 残っています:

  • 25% = (1/2)^n → n = 2 半減期
  • 年齢 = 2 × 5,730 = 11,460 歳

炭素年代測定は、最大 50,000 年前のサンプルでは信頼できます (半減期は約 8 ～ 9 年で、それ以降は C-14 がほとんど残らないため、測定の信頼性が低くなります)。

薬理学における半減期

薬物の半減期によって投与頻度が決まります。 4 ～ 5 の半減期の後、薬物の約 94 ～ 97% が除去されます。

薬 人生の半分 投与頻度
イブプロフェン 2時間 4 ～ 6 時間ごと
アスピリン 15 ～ 20 分* 抗血小板薬を毎日摂取
カフェイン 5～6時間 効果は約8～10時間
ジアゼパム（バリウム） 20～100時間 1日1回以下

*アスピリンの血小板に対する効果は、不可逆的な結合により、それ自体の半減期よりもはるかに長く持続します。

指数計算ツールを使用して、任意の数の半減期の (½)^n をすばやく計算します。