Z スコア (または標準スコア) は、データ ポイントが平均からどれだけ標準偏差があるかを測定します。生のスコアを標準化されたスケールに変換し、異なるデータセット間の比較を可能にします。
Z スコアの計算式
z = (x − μ) ÷ σ
どこ：
- x = 個々のデータポイント
- μ (μ) = 母集団平均
- σ (シグマ) = 母標準偏差
サンプルの場合、μ を x̄ (サンプル平均) に置き換え、σ を s (サンプル SD) に置き換えます。
実際に動作した例
学生が試験で 72 点を取りました。クラスの平均は 65、標準偏差は 8 です。
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
この学生のスコアは平均より 0.875 標準偏差でした。
Z スコアの解釈
| Zスコア | 解釈 | パーセンタイル (おおよそ) |
|---|---|---|
| −3 | 平均を著しく下回る | 0.1% |
| −2 | 平均を大きく下回る | 2.3% |
| −1 | 平均以下 | 15.9% |
| 0 | 平均して | 50.0% |
| +1 | 平均以上 | 84.1% |
| +2 | 平均をはるかに上回っています | 97.7% |
| +3 | 非常に平均を上回っている | 99.9% |
68-95-99.7 ルール
正規分布の場合:
- データの 68% は ±1 標準偏差以内に収まります
- 95% ±2 標準偏差以内
- 99.7% ±3 標準偏差以内
Z スコアをパーセンタイルに変換する
Z スコアを取得したら、標準正規テーブル (Z テーブル) を検索するか、以下を使用します。
Percentile = Φ(z) × 100
ここで、Φ は累積正規分布関数です。
例: z = 1.5 → Φ(1.5) = 0.9332 → 93.3 パーセンタイル
Z スコアの応用
ファイナンス：
- Altman Z-Score は破産リスクを予測します
- リスク管理で異常値を特定するために使用されます。
健康管理：
- 子供の年齢別 BMI Z スコア
- 骨密度 (DXA) T スコアは Z スコアの一種です
品質管理:
- シックス シグマは Z スコアを使用してプロセス能力を測定します
- 「6 シグマ」プロセスの Z スコアは 6 (100 万個あたり 3.4 個の欠陥)
テストスコアの標準化:
- IQ スコア: 平均 100、SD 15 (Z スコア +2 → IQ 130)
- SAT スコア: 平均 1000、SD 200 (Z スコアからスケール)
さまざまなテストのスコアを比較する
例: アリスはテスト A で 80 点を獲得しました (平均 70、SD 10)。ボブはテスト B で 55 点を獲得しました (平均 40、SD 8)。
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
素のスコアが低いにもかかわらず、ボブは同僚と比較してより良いパフォーマンスを示しました。