二次方程式の形式は ax² + bx + c = 0 です。二次方程式を解くには 4 つの方法があります。どれをいつ使用するかを知ることで、代数をより高速に行うことができます。
標準形式
すべての二次方程式は次のように記述できます。
ax² + bx + c = 0
ここで、a ≠ 0 (a = 0 の場合、一次方程式になります)。
例:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1、b=−5、c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2、b=3、c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1、b=0、c=−9)
方法 1: 因数分解
方程式がきれいに整数に分解される場合に最も効果的です。該当する場合は最速の方法。
手順:
- 標準的な形式で書く
- (a × c) と b を加算する 2 つの数を見つけます。
- 中期と因子をグループ化して分割する
- 各係数をゼロに設定します。
例: x² − 5x + 6 = 0
- 2 つの数値が必要です: 6 を掛け、−5 に足します → −2 と −3
- 係数: (x − 2)(x − 3) = 0
- 解決策: x = 2 または x = 3
例: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6、5 に係数を加算する必要があります → 2 および 3
- 書き換え: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- 係数: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- 係数: (2x + 3)(x + 1) = 0
- 解: x = −3/2 または x = −1
使用する場合: 要因をすぐに特定できる場合。 30 秒以内に要因が見つからない場合は、方法を切り替えます。
方法 2: 二次公式
すべての二次方程式に対して機能します。因数分解が明確ではない場合にこれを使用します。
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
例: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2、b=3、c=−2)
- 判別式: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 または x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
判別式: 解はいくつありますか?
b² − 4ac という式は、解く前に解の性質を示します。
| 判別式 | ソリューションの数 | タイプ |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | 2 つの異なる実際のソリューション | 実数 |
| b² − 4ac = 0 | 1 つの繰り返し解決策 | 実数の等根 |
| b² − 4ac < 0 | 本当の解決策はない | 2 つの複素/虚数ルート |
例: x² + 2x + 5 = 0
- 判別式 = 4 − 20 = −16 → 実解なし
- 複素数解: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
方法 3: 正方形を完成させる
方程式を (x + p)² = q の形式に変換します。頂点の形状を理解し、二次公式を導出するために不可欠です。
手順:
- 定数を右側に移動します
- a で割ります (a ≠ 1 の場合)
- 両辺に (b/2a)² を追加します。
- 左辺を完全二乗として因数分解する
- 両辺の平方根を求める
例: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- (6/2)² = 9 を両辺に加算します: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 または x = −5
方法 4: グラフ化
解 (根) は、放物線 y = ax² + bx + c の x 切片です。
- 2 つの x 切片 → 2 つの実数解
- 1 つの x 切片 (x 軸上の頂点) → 1 つの反復解
- x 切片がない → 実解がない (複素根)
使用する場合: 視覚的に理解する場合、またはグラフ電卓を使用する場合。正確な答えを得るには実用的ではありません。
適切な方法の選択
| 状況 | 最良の方法 |
|---|---|
| 整数係数、因数分解可能に見える | まずは因数分解 |
| 二次関数、正確な答えが必要 | 二次方程式 |
| 頂点/最小値/最大値を理解する | 広場を完成させる |
| 視覚的な理解または近似 | グラフ化 |
| b² − 4ac < 0 | 二次公式 (複素根を求める) |
クイック リファレンス: 一般的なパターン
二乗の差: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
完全二乗三項式: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (繰り返し)
中間項なし: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (c と a の符号が反対の場合のみ実数)
根の和と積
ax² + bx + c = 0、根 r₁ および r₂ の場合:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
検証例: x² − 5x + 6 = 0、根 2 および 3:
- 合計: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- 積: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
3 次方程式には 3 次方程式ソルバーを使用するか、標準 2 次方程式には上記の 2 次方程式を適用します。