एक z-स्कोअर (किंवा मानक स्कोअर) डेटा पॉइंट सरासरीपासून किती मानक विचलन मोजतो. हे कच्च्या स्कोअरला प्रमाणित स्केलमध्ये रूपांतरित करते जे वेगवेगळ्या डेटासेटमध्ये तुलना करण्यास सक्षम करते.
Z-स्कोअर फॉर्म्युला
z = (x − μ) ÷ σ
कुठे:
- x = वैयक्तिक डेटा पॉइंट
- μ (mu) = लोकसंख्या सरासरी
- σ (सिग्मा) = लोकसंख्या मानक विचलन
नमुन्यासाठी, μ ला x̄ (सॅम्पल मीन) आणि σ ला s (नमुना SD) ने बदला.
कार्य केलेले उदाहरण
एका विद्यार्थ्याला परीक्षेत ७२ गुण मिळाले. वर्ग सरासरी 65 आहे आणि मानक विचलन 8 आहे.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
या विद्यार्थ्याने 0.875 मानक विचलन सरासरीपेक्षा जास्त गुण मिळवले.
Z-स्कोअरचा अर्थ लावणे
| Z-स्कोअर | व्याख्या | टक्केवारी (अंदाजे) |
|---|---|---|
| −3 | सरासरीपेक्षा खूपच कमी | 0.1% |
| −2 | सरासरीपेक्षा कमी | 2.3% |
| −1 | सरासरीपेक्षा कमी | 15.9% |
| 0 | मध्यंतरी | 50.0% |
| +1 | सरासरीपेक्षा जास्त | 84.1% |
| +2 | सरासरीपेक्षा जास्त | 97.7% |
| +3 | सरासरीपेक्षा खूपच जास्त | 99.9% |
६८-९५-९९.७ नियम
सामान्य वितरणामध्ये:
- 68% डेटा ±1 मानक विचलनामध्ये येतो
- 95% ±2 मानक विचलनांमध्ये
- 99.7% ±3 मानक विचलनांमध्ये
Z-स्कोअरला पर्सेंटाइलमध्ये रूपांतरित करत आहे
एकदा तुमच्याकडे z-स्कोअर झाल्यानंतर, मानक सामान्य सारणी (Z-टेबल) पहा किंवा वापरा:
Percentile = Φ(z) × 100
जेथे Φ हे संचयी सामान्य वितरण कार्य आहे.
उदाहरण: z = १.५ → Φ(१.५) = ०.९३३२ → ९३.३रा टक्के
Z-स्कोअरचे अनुप्रयोग
वित्त:
- ऑल्टमन झेड-स्कोअर दिवाळखोरीच्या धोक्याचा अंदाज लावतो
- बाहेरील व्यक्ती ओळखण्यासाठी जोखीम व्यवस्थापनात वापरले जाते
आरोग्य सेवा:
- मुलांसाठी वय z-स्कोअरसाठी BMI
- हाडांची घनता (DXA) टी-स्कोअर हा झेड-स्कोअरचा एक प्रकार आहे
गुणवत्ता नियंत्रण:
- सिक्स सिग्मा प्रक्रिया क्षमता मोजण्यासाठी z-स्कोअर वापरते
- "6-सिग्मा" प्रक्रियेचा z-स्कोअर 6 असतो (3.4 दोष प्रति दशलक्ष)
मानक चाचणी गुण:
- IQ स्कोअर: सरासरी 100, SD 15 (+2 चा z-स्कोअर → IQ 130)
- SAT स्कोअर: सरासरी 1000, SD 200 (z-स्कोअरवरून मोजलेले)
वेगवेगळ्या चाचण्यांमधील स्कोअरची तुलना करणे
उदाहरण: ॲलिसने कसोटी A मध्ये ८० गुण मिळवले (म्हणजे ७०, SD १०). बॉबने कसोटी B मध्ये 55 धावा केल्या (म्हणजे 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
कमी रॉ स्कोअर असूनही, बॉबने त्याच्या समवयस्कांच्या तुलनेत चांगली कामगिरी केली.