स्टँडर्ड विचलन हे स्टॅटिस्टिक्समध्ये स्प्रेडचे सर्वाधिक वापरलेले माप आहे. हे तुम्हाला सांगते की सरासरीच्या आसपास मूल्ये किती पसरलेली आहेत. हे मार्गदर्शक कार्य केलेल्या उदाहरणांसह पहिल्या तत्त्वांपासून ते स्पष्ट करते.
मानक विचलन तुम्हाला काय सांगते
सरासरी तुम्हाला डेटासेटचे केंद्र सांगते. मानक विचलन तुम्हाला सांगते की मूल्ये सामान्यतः त्या केंद्रापासून किती दूर जातात.
कमी मानक विचलन → मूल्ये मध्याभोवती घट्ट क्लस्टर केलेली आहेत उच्च मानक विचलन → मूल्ये सरासरीपासून मोठ्या प्रमाणात पसरतात
दोन परीक्षा वर्ग दोन्ही सरासरी 70%, परंतु:
- वर्ग अ: स्कोअर 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1.4 (खूप सातत्यपूर्ण)
- वर्ग ब: स्कोअर 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22.4 (अत्यंत व्हेरिएबल)
समान अर्थ, खूप भिन्न वितरणे.
सूत्र
तुमच्याकडे पूर्ण लोकसंख्या आहे की नमुना आहे यावर अवलंबून दोन आवृत्त्या आहेत.
लोकसंख्या मानक विचलन (σ)
तुमच्याकडे गटातील प्रत्येक सदस्याचा डेटा असेल तेव्हा वापरा.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
नमुना मानक विचलन (चे)
तुमचा डेटा मोठ्या लोकसंख्येचा नमुना असेल तेव्हा वापरा (सर्वात सामान्य केस).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
नमुन्यावरून लोकसंख्येच्या मापदंडाचा अंदाज घेतल्याने येणारा पूर्वाग्रह दुरुस्त करण्यासाठी भाजक n − 1 (n नाही) आहे. याला बेसलचे करेक्शन म्हणतात.
चरण-दर-चरण गणना
डेटासेट: ६ विद्यार्थ्यांसाठी चाचणी गुण: ७२, ८५, ६८, ९१, ७४, ८०
पायरी १: सरासरी शोधा
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
पायरी २: प्रत्येक विचलन सरासरीमधून शोधा
| स्कोअर | विचलन (x − x̄) | चौरस विचलन |
|---|---|---|
| 72 | −6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −१०.३३ | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
चरण ३: वर्ग विचलनाची बेरीज करा
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
चरण 4: n − 1 ने भागा (नमुना)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
पायरी ५: वर्गमूळ घ्या
s = √(74.67) = 8.64
मानक विचलन ८.६४ गुण आहे. सामान्य विद्यार्थ्याचा स्कोअर वर्ग सरासरीपेक्षा सुमारे 8-9 गुण दूर असतो.
६८-९५-९९.७ नियम
सामान्यपणे वितरित डेटासाठी (बेल वक्र), मानक विचलनाचा प्रसाराशी अंदाजे संबंध असतो:
- 68% मूल्ये सरासरीच्या 1 SD मध्ये येतात
- 95% मूल्ये सरासरीच्या 2 SD मध्ये येतात
- 99.7% मूल्ये सरासरीच्या 3 SD मध्ये येतात
आमच्या उदाहरणाला लागू केले (मध्य = 78.33, SD = 8.64):
- स्कोअरच्या ६८%: ७८.३३ ± ८.६४ → ६९.७ ते ८६.९७
- ९५% स्कोअर: ७८.३३ ± १७.२८ → ६१.०५ ते ९५.६१
- ९९.७% स्कोअर: ७८.३३ ± २५.९२ → ५२.४१ ते १०४.२५
भिन्नता वि मानक विचलन
Variance हे वर्ग मानक विचलन आहे: आमच्या उदाहरणात s² = 74.67.
भिन्नता ऐवजी मानक विचलन का वापरावे?
- मानक विचलन तुमचा डेटा (पॉइंट, डॉलर, मीटर) समान युनिट्समध्ये आहे
- भिन्नता स्क्वेअर युनिटमध्ये आहे — व्यावहारिक अर्थ लावणे कठीण
- "8.64 गुणांनी विचलित सरासरी गुण" अर्थपूर्ण आहे; "व्हेरियंस 74.67 पॉइंट² होता" नाही
वास्तविक-जागतिक वापर
वित्त: दररोज सरासरी ०.०५% आणि SD 1.2% परतावा असलेला स्टॉक समान सरासरी परतावा आणि SD 0.3% पेक्षा जास्त जोखमीचा आहे. मानक विचलन हा अस्थिरता मापनाचा पाया आहे.
उत्पादन: 10mm आणि SD 0.02mm च्या लक्ष्य व्यासासह बोल्ट तयार करणारा कारखाना 0.5mm च्या SD असलेल्या एका पेक्षा कितीतरी जास्त सुसंगत आहे. गुणवत्ता नियंत्रण SD वर अवलंबून असते.
औषध: क्लिनिकल चाचण्यांचा अहवाल SD सोबत म्हणजे रूग्णांवर उपचार किती सातत्यपूर्णपणे काम करत आहे हे दाखवण्यासाठी.
हवामान: "SD 4°C सह सरासरी तापमान 18°C" तुम्हाला एकट्या सरासरीपेक्षा कितीतरी जास्त सांगते — तुम्हाला काय पॅक करायचे हे माहित आहे.
Z-स्कोअर
z-स्कोअर कोणत्याही मूल्याला मानक विचलन युनिटमध्ये रूपांतरित करतो, भिन्न डेटासेटमध्ये तुलना सक्षम करतो:
z = /x - x̄s
आमच्या उदाहरणात 91 गुण मिळवणारा विद्यार्थी:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
हा स्कोअर सरासरीपेक्षा 1.47 मानक विचलन आहे — वर्गाच्या सुमारे 93% पेक्षा चांगला.
आता मानक विचलनाची गणना करा
आमचे सांख्यिकी कॅल्क्युलेटर तुम्ही एंटर केलेल्या कोणत्याही डेटासेटवरून मानक विचलन, प्रसरण, मध्य, मध्यक, मोड आणि बरेच काही मोजतो. तुमचे नंबर पेस्ट करा आणि त्वरित पूर्ण परिणाम मिळवा.