Een z-score (of standaardscore) meet hoeveel standaarddeviaties een gegevenspunt verwijderd is van het gemiddelde. Het zet ruwe scores om in een gestandaardiseerde schaal die vergelijking tussen verschillende datasets mogelijk maakt.
De Z-Score-formule
z = (x − μ) ÷ σ
Waar:
- x = individueel datapunt
- μ (mu) = populatiegemiddelde
- σ (sigma) = standaardafwijking van de populatie
Voor een steekproef vervangt u μ door x̄ (steekproefgemiddelde) en σ door s (steekproef-SD).
Uitgewerkt voorbeeld
Een student scoort 72 op een examen. Het klassengemiddelde is 65 en de standaarddeviatie is 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Deze leerling scoorde 0,875 standaardafwijkingen boven het gemiddelde.
Z-scores interpreteren
| Z-score | Interpretatie | Percentiel (ongeveer) |
|---|---|---|
| −3 | Extreem onder het gemiddelde | 0.1% |
| −2 | Ruim onder het gemiddelde | 2.3% |
| −1 | Onder het gemiddelde | 15.9% |
| 0 | In het gemiddelde | 50.0% |
| +1 | Boven het gemiddelde | 84.1% |
| +2 | Ruim boven het gemiddelde | 97.7% |
| +3 | Extreem boven het gemiddelde | 99.9% |
De 68-95-99.7-regel
Bij een normale verdeling:
- 68% van de gegevens valt binnen ±1 standaarddeviatie
- 95% binnen ±2 standaardafwijkingen
- 99,7% binnen ±3 standaardafwijkingen
Z-Score converteren naar percentiel
Zodra u een z-score heeft, zoekt u de standaard normale tabel (Z-tabel) op of gebruikt u:
Percentile = Φ(z) × 100
Waarbij Φ de cumulatieve normale verdelingsfunctie is.
Voorbeeld: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3e percentiel
Toepassingen van Z-Scores
Financiën:
- Altman Z-Score voorspelt faillissementsrisico
- Gebruikt bij risicobeheer om uitschieters te identificeren
Zorg:
- BMI voor leeftijd z-scores voor kinderen
- Botdichtheid (DXA) T-scores zijn een vorm van z-score
Kwaliteitscontrole:
- Six Sigma gebruikt z-scores om de procescapaciteiten te meten
- Een "6-sigma"-proces heeft een z-score van 6 (3,4 defecten per miljoen)
Testscores standaardiseren:
- IQ-scores: gemiddeld 100, SD 15 (een z-score van +2 → IQ 130)
- SAT-scores: gemiddelde 1000, SD 200 (geschaald vanaf z-scores)
Scores tussen verschillende tests vergelijken
Voorbeeld: Alice scoorde 80 op Test A (gemiddelde 70, SD 10). Bob scoorde 55 op Test B (gemiddelde 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Ondanks de lagere ruwe score presteerde Bob beter vergeleken met zijn collega's.