En z-score (eller standardscore) måler hvor mange standardavvik et datapunkt er fra gjennomsnittet. Den konverterer råskårer til en standardisert skala som muliggjør sammenligning på tvers av forskjellige datasett.
Z-Score-formelen
z = (x − μ) ÷ σ
Hvor:
- x = individuelle datapunkt
- μ (mu) = gjennomsnittlig populasjon
- σ (sigma) = populasjonsstandardavvik
For en prøve erstattes μ med x̄ (prøvegjennomsnitt) og σ med s (prøve SD).
Bearbeidet eksempel
En student scorer 72 på en eksamen. Klassegjennomsnittet er 65, og standardavviket er 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Denne studenten scoret 0,875 standardavvik over gjennomsnittet.
Tolke Z-scores
| Z-score | Tolkning | Persentil (ca.) |
|---|---|---|
| −3 | Ekstremt under gjennomsnittet | 0.1% |
| −2 | Godt under gjennomsnittet | 2.3% |
| −1 | Under gjennomsnittet | 15.9% |
| 0 | I gjennomsnitt | 50.0% |
| +1 | Over gjennomsnittet | 84.1% |
| +2 | Godt over gjennomsnittet | 97.7% |
| +3 | Ekstremt over gjennomsnittet | 99.9% |
68-95-99.7-regelen
I en normalfordeling:
- 68 % av data faller innenfor ±1 standardavvik
- 95 % innenfor ±2 standardavvik
- 99,7% innenfor ±3 standardavvik
Konvertering av Z-score til Percentile
Når du har en z-score, slå opp standard normaltabell (Z-tabell) eller bruk:
Percentile = Φ(z) × 100
Hvor Φ er den kumulative normalfordelingsfunksjonen.
Eksempel: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3. persentil
Anvendelser av Z-score
Finansiere: – Altman Z-Score spår konkursrisiko
- Brukes i risikostyring for å identifisere uteliggere
Helsevesen:
- BMI for alder z-score for barn
- Bentetthet (DXA) T-score er en form for z-score
Kvalitetskontroll:
- Six Sigma bruker z-score for å måle prosesskapasitet
- En "6-sigma" prosess har en z-score på 6 (3,4 defekter per million)
Standardisering av testresultater:
- IQ-score: gjennomsnitt 100, SD 15 (en z-score på +2 → IQ 130)
- SAT-score: gjennomsnittlig 1000, SD 200 (skalert fra z-score)
Sammenligning av poeng på tvers av forskjellige tester
Eksempel: Alice scoret 80 på test A (gjennomsnittlig 70, SD 10). Bob scoret 55 på test B (gjennomsnitt 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Til tross for lavere råpoengsum, presterte Bob bedre i forhold til jevnaldrende.