Wartość oczekiwana (EV) to średnia ważona prawdopodobieństwem wszystkich możliwych wyników. Mówi Ci, czego powinieneś się spodziewać średnio, jeśli powtórzysz wydarzenie wiele razy.

Formuła

E(X) = Σ (probability × value)

Zsumuj wszystkie pary (prawdopodobieństwo × wynik).

Prosty przykład: zakład typu „rzut monetą”.

Uczciwy rzut monetą:

  • Głowy: wygraj 10 £
  • Reszki: strać 8 funtów
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1

Interpretacja: Średnio wygrywasz 1 GBP za rzut. Jest to pozytywny zakład EV, który warto podejmować wielokrotnie.

Przykład: ubezpieczenie

Czy warto wykupić polisę ubezpieczeniową telefonu na kwotę 200 GBP rocznie?

Przypuszczać:

  • 5% szans na uszkodzenie telefonu (koszt naprawy: 400 GBP)
  • 95% szans na brak uszkodzeń

Oczekiwany koszt bez ubezpieczenia:

E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20

Koszt ubezpieczenia: 200 £

Ubezpieczenie kosztuje 200 GBP za oczekiwane szkody w wysokości 20 GBP — płacisz 10× oczekiwany koszt. Matematycznie ubezpieczenie jest decyzją negatywną dotyczącą EV. Jednakże redukcja ryzyka może być warta premii, jeśli nie możesz sobie pozwolić na stratę 400 funtów.

Hazard: przewaga kasyna

Koło europejskiej ruletki (37 liczb, 0–36). Stawiasz 1£ na pojedynczy numer:

  • Wygrana: 1 szansa na 37, wypłata = 36 GBP (35:1 + Twoja stawka)
  • Stracić: 36 szans na 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027

Oczekiwana strata = 0,027 GBP za zakład o wartości 1 GBP = 2,7% przewagi kasyna.

Ponad 1000 spinów po 1 GBP każdy:

Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27

Podejmowanie decyzji biznesowych

Firma podejmuje decyzję o wprowadzeniu produktu na rynek:

Wynik Prawdopodobieństwo Zysk/strata
Mocny sukces 20% +500 000 funtów
Umiarkowany sukces 40% +100 000 funtów
Wychodzić na czysto 25% 0 funtów
Awaria 15% −200 000 funtów 
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000

Pozytywne EV → kontynuuj projekt.

Ograniczenia oczekiwanej wartości

  • Wariancja ma znaczenie: 50% szans na wygranie 200 GBP i pewne 100 GBP mają tę samą wartość EV, ale bardzo różne profile ryzyka
  • Pojedyncze wydarzenia: EV gwarantuje jedynie średnie wyniki w wielu powtórzeniach
  • Użyteczność a pieniądz: Ludzie cenią pieniądze w sposób nieliniowy (awersja do ryzyka). Utrata 1000 funtów boli bardziej niż zysk 1000 funtów pomaga.

EV w pokerze

Profesjonalny poker polega na obliczaniu pot odds i oczekiwanej wartości każdej decyzji. Jeśli zakład ma dodatnie EV, należy go postawić niezależnie od wyniku krótkoterminowego.

EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)