Wynik Z (lub wynik standardowy) mierzy, ile odchyleń standardowych ma punkt danych od średniej. Konwertuje surowe wyniki na znormalizowaną skalę, która umożliwia porównanie różnych zbiorów danych.
Formuła wyniku Z
z = (x − μ) ÷ σ
Gdzie:
- x = indywidualny punkt danych
- μ (mu) = średnia populacji
- σ (sigma) = odchylenie standardowe populacji
W przypadku próbki zamień μ na x̄ (średnia próbki) i σ na s (SD próbki).
Sprawdzony przykład
Uczeń zdobywa na egzaminie 72 punkty. Średnia klasy wynosi 65, a odchylenie standardowe wynosi 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Ten uczeń uzyskał 0,875 odchylenia standardowego powyżej średniej.
Interpretacja wyników Z
| Wynik Z | Interpretacja | Percentyl (w przybliżeniu) |
|---|---|---|
| −3 | Wyjątkowo poniżej średniej | 0.1% |
| −2 | Znacznie poniżej średniej | 2.3% |
| −1 | Poniżej średniej | 15.9% |
| 0 | W połowie | 50.0% |
| +1 | Powyżej średniej | 84.1% |
| +2 | Znacznie powyżej średniej | 97.7% |
| +3 | Niezwykle powyżej średniej | 99.9% |
Zasada 68-95-99,7
W rozkładzie normalnym:
- 68% danych mieści się w granicach ±1 odchylenia standardowego
- 95% w granicach ±2 odchyleń standardowych
- 99,7% w granicach ±3 odchyleń standardowych
Konwersja wyniku Z na percentyl
Kiedy już uzyskasz wynik Z, sprawdź standardową tabelę normalną (tabelę Z) lub użyj:
Percentile = Φ(z) × 100
Gdzie Φ jest skumulowaną funkcją rozkładu normalnego.
Przykład: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3 percentyl
Zastosowania wyników Z
Finanse:
- Altman Z-Score przewiduje ryzyko bankructwa
- Wykorzystywany w zarządzaniu ryzykiem do identyfikacji wartości odstających
Opieka zdrowotna:
- BMI dla wieku Z-score dla dzieci
- Wskaźniki T-score (DXA) są formą wskaźnika Z
Kontrola jakości:
- Six Sigma wykorzystuje wyniki Z do pomiaru wydajności procesu
- Proces „6-sigma” ma wskaźnik Z wynoszący 6 (3,4 defektów na milion)
Wyniki testów standaryzacyjnych:
- Wyniki IQ: średnia 100, SD 15 (wynik z +2 → IQ 130)
- Wyniki SAT: średnia 1000, SD 200 (skalowane na podstawie wyników Z)
Porównywanie wyników w różnych testach
Przykład: Alicja uzyskała 80 punktów w teście A (średnia 70, SD 10). Bob uzyskał 55 punktów w teście B (średnia 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Pomimo niższego wyniku surowego Bob osiągnął lepsze wyniki w porównaniu do swoich rówieśników.