Jeśli kiedykolwiek otrzymałeś inną odpowiedź na zadanie matematyczne niż ktoś inny — i oboje byliście pewni, że macie rację — winowajcą jest prawie na pewno kolejność działań.

Kolejność operacji to zbiór reguł mówiących, którą część wyrażenia matematycznego należy obliczyć jako pierwszą. Bez tych reguł to samo wyrażenie mogłoby dawać różne odpowiedzi w zależności od tego, kto je rozwiązuje.

Co to jest PEMDAS/BODMAS?

PEMDAS (używany w USA) i BODMAS (używany w Wielkiej Brytanii, Indiach i Australii) to akronimy tego samego zestawu zasad – tylko z nieco innym sformułowaniem.

PEMDAS BODMAS
**Zdanie wtrącone Prakiety
**Wykładniki Orozkazy (moce i pierwiastki)
**Mnożenie **Dział
**Dział **Mnożenie
**Dodatek **Dodatek
**Odejmowanie **Odejmowanie

Kolejność jest następująca: Nawiasy → Potęgi → Dzielenie/Mnożenie → Dodawanie/Odejmowanie

Uwaga: dzielenie i mnożenie mają równy priorytet (od lewej do prawej). Dodawanie i odejmowanie mają równy priorytet (od lewej do prawej).

Dlaczego potrzebujemy tych zasad?

Bez uzgodnionego zamówienia wyrażenie CODE0 byłoby niejednoznaczne:

  • Jeśli najpierw dodasz: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20
  • Jeśli najpierw pomnożysz: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

Uzgodnione zasady mówią, że mnożenie następuje przed dodawaniem, więc poprawna odpowiedź to 14.

Wyjaśnienie zasad

1. Najpierw nawiasy/nawiasy

Zawsze rozwiązuj wszystko, co jest w nawiasach, przed czymkolwiek innym.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Nawiasy zagnieżdżone: pracuj od środka na zewnątrz.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. Potęgi/rzędy (potęgi i pierwiastki)

Po nawiasach oblicz potęgi lub pierwiastki kwadratowe.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. Mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej)

Te dwie operacje mają równy priorytet. Kiedy pojawią się razem, pracuj od lewej do prawej.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. Dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej)

Ta sama zasada — równy priorytet, pracuj od lewej do prawej.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

Sprawdzone przykłady

Przykład 1: Podstawowy

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

Przykład 2: z nawiasami

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

Przykład 3: Z wykładnikami

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

Przykład 4: Złożony

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

Przykład 5: Klasyczny problem wirusowy

KOD0 — to wyrażenie regularnie zdobywa popularność, ponieważ ludzie nie zgadzają się co do odpowiedzi.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

Odpowiedź brzmi 9. Zamieszanie powstaje, ponieważ niektórzy ludzie traktują CODE0 jako pojedynczy termin. W standardowej konwencji matematycznej dzielenie i mnożenie mają równy priorytet i są obliczane od lewej do prawej.

Problemy praktyczne

Wypróbuj je przed sprawdzeniem odpowiedzi:

  1. KOD0
  2. KOD0
  3. KOD0
  4. KOD0
  5. KOD0

Odpowiedzi:

  1. 3 + 8 = 11
  2. 7 × 2 = 14
  3. 8 + 12 - 5 = 15
  4. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
  5. 6 + 2 × 9 - 2 = 6 + 18 - 2 = 22

Typowe błędy

Traktowanie mnożenia przed dzieleniem jako ścisła zasada — Mnożenie i dzielenie mają równy priorytet. Zawsze przerabiaj od lewej do prawej, gdy oba elementy pojawiają się razem.

Zapominanie o przechodzeniu przez nawiasy zagnieżdżone od lewej strony — Najpierw rozwiąż nawiasy najbardziej wewnętrzne.

Zastosowanie wykładników do niewłaściwej części — W CODE0 wykładnik dotyczy tylko 3, co daje -(9) = -9, a nie (-3)² = 9. Użyj nawiasów: CODE1, jeśli chcesz podnieść liczbę ujemną do kwadratu.

Ignorowanie domniemanego mnożenia — CODE0 oznacza CODE1 . Działa według tych samych zasad, co mnożenie jawne.

Dlaczego BODMAS i PEMDAS dają tę samą odpowiedź

Pomimo różnych nazw oba akronimy opisują ten sam priorytet. W BODMAS „DM” oznacza dzielenie i mnożenie razem (równy priorytet). W PEMDAS „MD” podobnie oznacza łącznie mnożenie i dzielenie. Kolejność akronimów nie oznacza, że ​​mnożenie następuje przed dzieleniem — są one równe.

Skrócona karta referencyjna

Priorytet Działanie Przykład
1 Nawiasy / nawiasy (3 + 4)
2 Wykładniki / zamówienia 2³, √9
3.= Mnożenie 4 × 5
3.= Dział 20 ÷ 4
4.= Dodatek 7 + 3
4.= Odejmowanie 10 - 4

Przeczytaj dalej