Uma equação quadrática tem a forma ax² + bx + c = 0. Existem quatro métodos para resolvê-las – saber qual usar e quando torna a álgebra muito mais rápida.
Formulário Padrão
Toda equação quadrática pode ser escrita como:
ax² + bx + c = 0
Onde a ≠ 0 (se a = 0, é uma equação linear).
Exemplos:
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
Método 1: Fatoração
Funciona melhor quando a equação é fatorada de forma clara em números inteiros. Método mais rápido quando aplicável.
Passos:
- Escreva no formato padrão
- Encontre dois números que se multiplicam por (a × c) e somam por b
- Divida o meio termo e fatore por agrupamento
- Defina cada fator igual a zero
Exemplo: x² − 5x + 6 = 0
- Precisa de dois números: multiplique por 6, adicione a −5 → −2 e −3
- Fator: (x − 2)(x − 3) = 0
- Soluções: x = 2 ou x = 3
Exemplo: 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6, precisa de fatores somando 5 → 2 e 3
- Reescrever: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- Fator: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- Fator: (2x + 3)(x + 1) = 0
- Soluções: x = −3/2 ou x = −1
Quando usar: Quando você consegue identificar os fatores rapidamente. Se você não encontrar fatores em 30 segundos, troque de método.
Método 2: A Fórmula Quadrática
Funciona para todas equações quadráticas. Use isto quando a fatoração não for óbvia.
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
Exemplo: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- Discriminante: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 ou x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
O discriminante: quantas soluções?
A expressão b² − 4ac informa a natureza das soluções antes de você resolver:
| Discriminante | Número de soluções | Tipo |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | Duas soluções reais distintas | Números reais |
| b² − 4ac = 0 | Uma solução repetida | Raízes reais e iguais |
| b² − 4ac < 0 | Não há soluções reais | Duas raízes complexas/imaginárias |
Exemplo: x² + 2x + 5 = 0
- Discriminante = 4 − 20 = −16 → sem soluções reais
- Soluções complexas: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
Método 3: Completando o Quadrado
Transforma a equação na forma (x + p)² = q. Essencial para compreender a forma do vértice e derivar a fórmula quadrática.
Passos:
- Mova a constante para o lado direito
- Divida por a (se a ≠ 1)
- Adicione (b/2a)² a ambos os lados
- Fatore o lado esquerdo como um quadrado perfeito
- Tire a raiz quadrada de ambos os lados
Exemplo: x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- Adicione (6/2)² = 9 a ambos os lados: x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4
- x + 3 = ±2
- x = −1 ou x = −5
Método 4: gráficos
As soluções (raízes) são as interceptações x da parábola y = ax² + bx + c.
- Duas interceptações x → duas soluções reais
- Uma interceptação x (vértice no eixo x) → uma solução repetida
- Sem interceptações x → sem soluções reais (raízes complexas)
Quando usar: Para compreensão visual ou ao usar uma calculadora gráfica. Não é prático para respostas exatas.
Escolhendo o método certo
| Situação | Melhor Método |
|---|---|
| Coeficientes inteiros, parecem fatoráveis | Fatorando primeiro |
| Qualquer quadrática, precisa de resposta exata | Fórmula quadrática |
| Compreendendo o vértice/mínimo/máximo | Completando o quadrado |
| Compreensão visual ou aproximação | Gráficos |
| b² − 4ac < 0 | Fórmula quadrática (dá raízes complexas) |
Referência rápida: padrões comuns
Diferença de quadrados: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
Trinômio quadrado perfeito: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (repetido)
Sem termo médio: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (real apenas se c e a tiverem sinais opostos)
Soma e Produto das Raízes
Para ax² + bx + c = 0 com raízes r₁ e r₂:
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
Exemplo de verificação: x² − 5x + 6 = 0, raízes 2 e 3:
- Soma: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- Produto: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
Use nosso solucionador de equações cúbicas para equações de grau 3 ou aplique a fórmula quadrática acima para qualquer quadrática padrão.