Abaterea standard este cea mai utilizată măsură a răspândirii în statistică. Vă spune cât de departe se află o valoare tipică de medie - dacă datele dvs. sunt strâns grupate sau împrăștiate pe scară largă. Odată ce ați lucrat o dată cu calculul manual, conceptul devine intuitiv.
Ce vă spune abaterea standard
Dacă o clasă de studenți are un scor mediu la examen de 70 cu o abatere standard de 5, majoritatea scorurilor se încadrează între 65 și 75. Dacă abaterea standard ar fi 20, scorurile ar varia mult mai mult - de la 50 la 90 și mai mult.
O mică abatere standard înseamnă consistență. Unul mare înseamnă variabilitate.
Populație vs Abaterea standard eșantion
Există două versiuni, iar alegerea celei potrivite contează:
Abaterea standard a populației (σ): Folosiți atunci când aveți date pentru fiecare membru al grupului la care vă interesează. Se împarte la n.
Eșantion de abatere standard (e): Folosiți atunci când datele dvs. sunt un eșantion extras dintr-o populație mai mare. Se împarte la n − 1 (corecția lui Bessel, care ține cont de incertitudinea introdusă de eșantionare).
În practică, aproape întotdeauna utilizați abaterea standard a eșantionului – cu excepția cazului în care analizați un recensământ complet sau un set de date controlat fără membri lipsă.
Calcul pas cu pas
Set de date: 4, 7, 13, 2, 1 (un eșantion de 5 valori)
Pasul 1: Calculați media
Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4
Pasul 2: Găsiți fiecare abatere de la medie
Scădeți media din fiecare valoare:
| Valoarea (x) | Abatere (x − x̄) |
|---|---|
| 4 | 4 − 5,4 = −1,4 |
| 7 | 7 − 5,4 = +1,6 |
| 13 | 13 − 5,4 = +7,6 |
| 2 | 2 − 5,4 = −3,4 |
| 1 | 1 − 5,4 = −4,4 |
Pasul 3: Patratează fiecare abatere
Pătratul elimină semnele negative și subliniază abaterile mai mari:
| Abatere | Abaterea pătratului |
|---|---|
| −1.4 | 1.96 |
| +1.6 | 2.56 |
| +7.6 | 57.76 |
| −3.4 | 11.56 |
| −4.4 | 19.36 |
Pasul 4: Însumați abaterile la pătrat
Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2
Pasul 5: Împărțirea la n − 1 (pentru abaterea standard a eșantionului)
Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3
Pasul 6: Luați rădăcina pătrată
Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83
Interpretare: Valorile din acest set de date se află de obicei la aproximativ 4,83 unități de media de 5,4.
Formula scrisă
Abatere standard eșantion:
s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]
Abaterea standard a populației:
σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]
Unde μ (mu) este media populației.
Regula empirică (regula 68-95-99.7)
Pentru datele care urmează o distribuție normală, abaterea standard are o relație de încredere cu proporția de date din fiecare interval:
| Gamă | Proporția de date |
|---|---|
| Medie ± 1 SD | ~68% |
| Medie ± 2 SD | ~95% |
| Medie ± 3 SD | ~99,7% |
Exemplu aplicat: Scorurile IQ au o medie de 100 și SD de 15.
- 68% dintre oameni au un punctaj între 85 și 115
- 95% scor între 70 și 130
- 99,7% scor între 55 și 145
Această regulă se aplică numai datelor distribuite în mod normal. Pentru distribuțiile înclinate sau cu coadă grea, utilizați în schimb inegalitatea lui Chebyshev.
Varianta față de abaterea standard
Varianța este abaterea pătrată (pasul 5 de mai sus) — abaterea standard este rădăcina pătrată a acesteia. Ambele măsoară răspândirea, dar abaterea standard este exprimată în aceleași unități ca și datele originale, făcându-le mai interpretabile.
Dacă datele dvs. sunt în kilograme, abaterea dvs. standard este în kilograme. Varianta dvs. este în kilograme pătrate, ceea ce este mai greu de interpretat în mod semnificativ.
Aplicații comune
Finanțe: Măsurarea volatilității investițiilor. Un stoc cu randamente zilnice cu un SD ridicat este mai volatil - câștig potențial mai mare și pierdere potențială mai mare.
Controlul calității: Producția utilizează SD pentru a se asigura că produsele rămân în toleranță. Un proces cu SD prea mare produce prea multe articole defecte.
Educație: Standardizarea scorurilor la test. Un scor z vă spune câte abateri standard se află un scor peste sau sub medie: z = (x − medie) / SD.
Știință: Exprimarea incertitudinii de măsurare și compararea rezultatelor experimentale.
Comandă rapidă pentru calcul
Pentru seturi mari de date, utilizați formula de calcul care evită calcularea abaterilor individual:
s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)
Acest lucru este echivalent din punct de vedere matematic, dar necesită doar două treceri prin date, mai degrabă decât trei.
Utilizați Standard Deviation Calculator pentru a calcula SD, variația și o defalcare completă pentru orice set de date pe care îl introduceți.