Abaterea standard este cea mai utilizată măsură a răspândirii în statistică. Vă spune cât de distribuite sunt valorile în jurul mediei. Acest ghid îl explică din primele principii cu exemple lucrate.
Ce vă spune abaterea standard
Media vă spune centrul unui set de date. Abaterea standard vă spune cât de departe se îndepărtează de obicei valorile de acel centru.
Abatere standard scăzută → valori grupate strâns în jurul mediei Abatere standard ridicată → valorile se răspândesc pe scară largă față de medie
Două clase de examen, ambele, o medie de 70%, dar:
- Clasa A: scoruri de 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (foarte consistent)
- Clasa B: scoruri de 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (foarte variabil)
Aceeași înseamnă, distribuții foarte diferite.
Formula
Există două versiuni, în funcție de faptul dacă aveți întreaga populație sau un eșantion.
Abaterea standard a populației (σ)
Utilizați atunci când aveți date pentru fiecare membru al grupului.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Eșantion de abatere standard (e)
Utilizați atunci când datele dvs. sunt un eșantion dintr-o populație mai mare (cazul cel mai frecvent).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Numitorul este n − 1 (nu n) pentru a corecta distorsiunea care provine din estimarea unui parametru de populație dintr-un eșantion. Aceasta se numește corecția lui Bessel.
Calcul pas cu pas
Set de date: Scoruri la teste pentru 6 studenți: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Pasul 1: Găsiți media
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Pasul 2: Găsiți fiecare abatere de la medie
| Scor | Abatere (x − x̄) | Abaterea pătratului |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Pasul 3: Însumați abaterile pătrate
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Pasul 4: Împărțire la n − 1 (eșantion)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Pasul 5: Luați rădăcina pătrată
s = √(74.67) = 8.64
Abaterea standard este de 8,64 puncte. Un scor obișnuit al unui student este la aproximativ 8-9 puncte de media clasei.
Regula 68-95-99.7
Pentru datele distribuite normal (curba clopot), abaterea standard are o relație previzibilă cu răspândirea:
- 68% dintre valori se încadrează în 1 SD din medie
- 95% dintre valori se încadrează în 2 SD din medie
- 99,7% dintre valori se încadrează în 3 SD din medie
Aplicat exemplului nostru (medie = 78,33, SD = 8,64):
- 68% din scoruri: 78,33 ± 8,64 → 69,7 la 86,97
- 95% din scoruri: 78,33 ± 17,28 → 61,05 până la 95,61
- 99,7% din scoruri: 78,33 ± 25,92 → 52,41 la 104,25
Varianta față de abaterea standard
Varianța este abaterea standard pătrată: s² = 74,67 în exemplul nostru.
De ce să folosiți abaterea standard în loc de varianță?
- Abaterea standard este în aceleași unități cu datele dvs. (puncte, dolari, metri)
- Varianta este în unități pătrate - mai greu de interpretat practic
- „Scorul mediu deviat cu 8,64 puncte” este semnificativ; „varianța a fost de 74,67 puncte²” nu este
Utilizări în lumea reală
Finanțe: Un stoc cu randamente zilnice în medie de 0,05% și SD de 1,2% este mult mai riscant decât unul cu același randament mediu și SD de 0,3%. Abaterea standard este baza măsurării volatilității.
Producție: O fabrică care produce șuruburi cu un diametru țintă de 10 mm și SD de 0,02 mm este mult mai consistentă decât una cu SD de 0,5 mm. Controlul calității se bazează pe SD.
Medicina: Studiile clinice raportează SD alături de mijloace pentru a arăta cât de consecvent a funcționat un tratament pentru pacienți.
Vremea: „Temperatura medie 18°C cu SD 4°C” vă spune mult mai multe decât media - știți ce să împachetați.
Scoruri Z
Un scor z convertește orice valoare în unități de abatere standard, permițând compararea între diferite seturi de date:
z = /x - x̄s
Un elev cu nota 91 în exemplul nostru:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Acest scor este cu 1,47 abateri standard peste medie - mai bine decât aproximativ 93% din clasa.
Calculați acum abaterea standard
Calculatorul nostru de statistici calculează abaterea standard, varianța, media, mediana, modul și multe altele din orice set de date pe care îl introduceți. Lipiți numerele și obțineți instantaneu rezultate complete.