Ожидаемая ценность (EV) — это средневзвешенное по вероятности всех возможных результатов. Он говорит вам, чего вы ожидаете получить в среднем, если повторите событие много раз.
Формула
E(X) = Σ (probability × value)
Суммируйте все пары (вероятность × результат).
Простой пример: ставка на подбрасывание монеты
Честный подброс монеты:
- Орел: выиграйте 10 фунтов стерлингов.
- Решка: потеряйте 8 фунтов стерлингов
E(X) = (0.5 × 10) + (0.5 × −8)
E(X) = 5 + (−4) = £1
Интерпретация: В среднем вы выигрываете 1 фунт стерлингов за каждый бросок. Это ставка с положительным EV, которую стоит делать неоднократно.
Пример: страхование
Стоит ли покупать полис страхования телефона на сумму 200 фунтов стерлингов в год?
Предполагать:
- 5% вероятность повреждения телефона (стоимость ремонта: 400 фунтов стерлингов)
- 95% шанс отсутствия повреждений
Ожидаемая стоимость без страховки:
E(cost) = (0.05 × £400) + (0.95 × £0) = £20
Стоимость страховки: £200
Страховка стоит 200 фунтов стерлингов при ожидаемом ущербе в 20 фунтов стерлингов — вы платите в 10 раз больше ожидаемой стоимости. Математически страхование — это отрицательное решение по EV. Однако снижение риска может стоить переплаты, если вы не можете позволить себе потерю 400 фунтов стерлингов.
Азартные игры: преимущество казино
Европейская рулетка (37 номеров, 0–36). Вы ставите 1 фунт стерлингов на одно число:
- Победа: 1 шанс из 37, выплата = 36 фунтов стерлингов (35:1 + ваша ставка)
- Проигрыш: 36 шансов из 37
E(X) = (1/37 × 36) + (36/37 × −1)
E(X) = 0.973 − 0.973 = −0.027
Ожидаемый убыток = 0,027 фунта стерлингов за ставку в 1 фунт стерлингов = преимущество казино 2,7%.
Более 1000 вращений по 1 фунту стерлингов каждое:
Expected loss = 1,000 × 0.027 = £27
Принятие бизнес-решений
Компания решает, запускать ли продукт:
| Исход | Вероятность | Прибыль/убыток |
|---|---|---|
| Сильный успех | 20% | +500 000 фунтов стерлингов |
| Умеренный успех | 40% | +100 000 фунтов стерлингов |
| Точка безубыточности | 25% | 0 фунтов стерлингов |
| Отказ | 15% | −200 000 фунтов стерлингов |
EV = (0.2 × 500,000) + (0.4 × 100,000) + (0.25 × 0) + (0.15 × −200,000)
EV = 100,000 + 40,000 + 0 − 30,000 = £110,000
Положительное EV → продолжить проект.
Ограничения ожидаемой ценности
- Дисперсия имеет значение: 50%-ный шанс выиграть £200 и £100 имеют одинаковое EV, но совершенно разные профили риска.
- Отдельные соревнования: EV гарантирует средние результаты только при множестве повторений. – Полезность или деньги: Люди оценивают деньги нелинейно (неприятие риска). Потеря 1000 фунтов ранит больше, чем приобретение 1000 фунтов.
##EV в покере
Профессиональный покер предполагает расчет шансов банка и ожидаемого значения для каждого решения. Если ставка имеет положительное EV, ее следует делать независимо от краткосрочного результата.
EV = (probability of winning × pot size) − (probability of losing × bet size)