Z-показатель (или стандартный показатель) измеряет, на сколько стандартных отклонений точка данных отличается от среднего значения. Он преобразует необработанные оценки в стандартизированную шкалу, которая позволяет сравнивать различные наборы данных.
Формула Z-оценки
z = (x − μ) ÷ σ
Где:
- x = отдельная точка данных
- μ (мю) = среднее значение численности населения
- σ (сигма) = стандартное отклонение генеральной совокупности.
Для выборки замените μ на x̄ (выборочное среднее) и σ на s (выборочное стандартное отклонение).
Рабочий пример
Студент набрал на экзамене 72 балла. Среднее значение класса равно 65, а стандартное отклонение равно 8.
z = (72 − 65) ÷ 8 = 7 ÷ 8 = 0.875
Этот студент набрал 0,875 стандартных отклонений выше среднего.
Интерпретация Z-показателей
| Z-оценка | Интерпретация | Процентиль (приблизительно) |
|---|---|---|
| −3 | Крайне ниже среднего | 0.1% |
| −2 | Намного ниже среднего | 2.3% |
| −1 | Ниже среднего | 15.9% |
| 0 | В среднем | 50.0% |
| +1 | Выше среднего | 84.1% |
| +2 | Намного выше среднего | 97.7% |
| +3 | Чрезвычайно выше среднего | 99.9% |
Правило 68-95-99,7
В нормальном распределении:
- 68% данных находится в пределах ±1 стандартного отклонения.
- 95% в пределах ±2 стандартных отклонений
- 99,7% в пределах ±3 стандартных отклонений
Преобразование Z-показателя в процентиль
Получив z-показатель, найдите стандартную нормальную таблицу (Z-таблицу) или используйте:
Percentile = Φ(z) × 100
Где Φ — кумулятивная функция нормального распределения.
Пример: z = 1,5 → Φ(1,5) = 0,9332 → 93,3-й процентиль
Применение Z-показателей
Финансы:
- Altman Z-Score прогнозирует риск банкротства
- Используется в управлении рисками для выявления выбросов.
Здравоохранение:
- ИМТ для возрастных z-показателей для детей
- Т-показатели плотности костной ткани (DXA) представляют собой разновидность z-показателя.
Контроль качества:
- Шесть Сигм использует z-показатели для измерения возможностей процесса.
- Процесс «6 сигм» имеет z-показатель 6 (3,4 дефекта на миллион).
Результаты стандартизирующих тестов:
- Показатели IQ: среднее значение 100, SD 15 (z-показатель +2 → IQ 130)
- Баллы SAT: среднее 1000, стандартное отклонение 200 (по шкале z-показателей)
Сравнение результатов в разных тестах
Пример: Алиса набрала 80 баллов в тесте А (в среднем 70, SD 10). Боб набрал 55 баллов в тесте B (в среднем 40, SD 8).
Alice's z = (80 − 70) ÷ 10 = 1.0
Bob's z = (55 − 40) ÷ 8 = 1.875
Несмотря на более низкий общий балл, Боб показал лучшие результаты по сравнению со своими сверстниками.