Если у вас когда-либо был другой ответ на математическую задачу, чем у кого-то другого — и вы оба были уверены, что были правы — виновником почти наверняка является порядок операций.

Порядок операций — это набор правил, определяющих, какую часть математического выражения следует вычислять в первую очередь. Без этих правил одно и то же выражение могло бы давать разные ответы в зависимости от того, кто его решает.

Что такое ПЕМДАС/БОДМАС?

PEMDAS (используется в США) и BODMAS (используется в Великобритании, Индии и Австралии) — это аббревиатуры одного и того же набора правил, только с немного другой формулировкой.

ПЕМДАС БОДМАС
Ккруглые скобки Ракетки
Экспоненты **Приказы (силы и корни)
Умножение **Разделение
**Разделение Умножение
**Добавление **Добавление
**Вычитание **Вычитание

Порядок: Скобки → Степени → Деление/Умножение → Сложение/Вычитание.

Примечание. Деление и умножение имеют одинаковый приоритет (слева направо). Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет (слева направо).

Зачем нам нужны эти правила?

Без согласованного порядка выражение CODE0 было бы неоднозначным:

– Если сначала сложить: (2 + 3) × 4 = 5 × 4 = 20

  • Если сначала умножить: 2 + (3 × 4) = 2 + 12 = 14

Согласно согласованным правилам, умножение предшествует сложению, поэтому правильный ответ — 14.

Объяснение правил

1. Сначала скобки/круглые скобки

Всегда решайте все, что находится внутри скобок, прежде всего.

(3 + 4) × 2 = 7 × 2 = 14

Вложенные скобки: работают от самой внутренней части наружу.

2 × (3 + (4 − 1)) = 2 × (3 + 3) = 2 × 6 = 12

2. Экспоненты/порядки (степени и корни)

После скобок вычислите степени или квадратные корни.

2 + 3² = 2 + 9 = 11

4 × √16 = 4 × 4 = 16

3. Умножение и деление (слева направо)

Эти две операции имеют одинаковый приоритет. Когда они появляются вместе, действуйте слева направо.

12 ÷ 4 × 3 = 3 × 3 = 9    ✓ (left to right)
12 ÷ 4 × 3 ≠ 12 ÷ 12 = 1  ✗ (doing × before ÷ is wrong)

4. Сложение и вычитание (слева направо)

Тот же принцип — равный приоритет, работа слева направо.

10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9    ✓
10 − 3 + 2 ≠ 10 − 5 = 5   ✗

Рабочие примеры

Пример 1: базовый

8 + 2 × 5 − 3
= 8 + 10 − 3        (multiplication first)
= 18 − 3            (left to right)
= 15

Пример 2: с скобками

(8 + 2) × (5 − 3)
= 10 × 2            (brackets first)
= 20

Пример 3: с экспонентами

3 + 4² ÷ 2
= 3 + 16 ÷ 2        (exponent first)
= 3 + 8             (division before addition)
= 11

Пример 4: Комплекс

5 × (2 + 3)² − 10 ÷ 2
= 5 × 5² − 10 ÷ 2   (brackets first)
= 5 × 25 − 10 ÷ 2   (exponent)
= 125 − 5           (× and ÷ left to right)
= 120

Пример 5: Классическая вирусная проблема

CODE0 — это выражение регулярно становится вирусным, потому что люди не согласны с ответом.

Step 1: Bracket → 1 + 2 = 3
Step 2: Expression becomes 6 ÷ 2 × 3
Step 3: Left to right → 6 ÷ 2 = 3, then 3 × 3 = 9

Ответ: 9. Путаница возникает потому, что некоторые люди рассматривают CODE0 как один термин. В стандартной математической конвенции деление и умножение имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо.

Практические задачи

Попробуйте это, прежде чем проверять ответы:

  1. КОД0
  2. КОД0
  3. КОД0
  4. КОД0
  5. КОД0

Ответы:

  1. 3 + 8 = 11
  2. 7 × 2 = 14
  3. 8 + 12 − 5 = 15
  4. 20 ÷ 5 × 4 = 4 × 4 = 16
  5. 6 + 2 × 9 – 2 = 6 + 18 – 2 = 22

Распространенные ошибки

Умножение перед делением является строгим правилом — Умножение и деление имеют одинаковый приоритет. Всегда работайте слева направо, когда оба появляются вместе.

Забываем работать с вложенными скобками наизнанку — Сначала решите самые внутренние скобки.

Применение показателя степени к неправильной части — В CODE0 показатель степени применяется только к 3, что дает вам -(9) = -9, а не (-3)² = 9. Используйте скобки: CODE1, если вы хотите возвести в квадрат отрицательное число.

Игнорируя подразумеваемое умножение — CODE0 означает CODE1 . Оно следует тем же правилам, что и явное умножение.

Почему БОДМАС и ПЕМДАС дают один и тот же ответ

Несмотря на разные названия, обе аббревиатуры описывают один и тот же приоритет. В БОДМАСе «ДМ» представляет собой одновременное деление и умножение (равный приоритет). В PEMDAS «MD» аналогичным образом обозначает одновременное умножение и деление. Порядок сокращений не означает, что умножение предшествует делению — они равны.

Краткая справочная карта

Приоритет Операция Пример
1-й Скобки/круглые скобки (3 + 4)
2-й Экспоненты / Ордера 2³, √9
3-й = Умножение 4 × 5
3-й = Разделение 20 ÷ 4
4-й = Добавление 7 + 3
4-й = Вычитание 10 − 4

Читать дальше