Площадь измеряет объем двумерного пространства внутри фигуры. В этом руководстве описаны формулы для каждой распространенной формы — с рабочими примерами и обоснованием каждой формулы.
Что такое площадь?
Площадь измеряется в квадратных единицах: см², м², дюйм², фут² и т. д. Если выложить пол плиткой размером 1 см × 1 см и потребуется 500 плиток, площадь пола составит 500 см².
Прямоугольник
A = l × w
Самая фундаментальная формула площади. Умножьте длину на ширину.
Пример: Комната 5 м × 4 м: A = 5 × 4 = 20 м²
Квадрат
A = s^2
Особый прямоугольник, у которого все стороны равны.
Пример: Квадратная плитка со сторонами 30 см: A = 30² = 900 см²
Треугольник
A = (1) / (2) × b × h
Половина основания, умноженного на высоту. Высота должна быть перпендикулярна основанию, а не наклонной стороне.
Пример: Треугольник с основанием 8 см и высотой 5 см: A = ½ × 8 × 5 = 20 см²
Почему ½? Треугольник — это ровно половина прямоугольника с одинаковым основанием и высотой. Нарисуйте любой треугольник, дублируйте его, переверните копию — они всегда образуют прямоугольник.
###Формула Герона (когда знаешь все три стороны)
A = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
Где s = (a + b + c)/2 — полупериметр.
Пример: Треугольник со сторонами 3, 4, 5:
- с = (3+4+5)/2 = 6
- A = √(6×3×2×1) = √36 = 6 см²
Круг
A = π r^2
Где r – радиус (половина диаметра).
Пример: Круг диаметром 10 см (радиус 5 см): A = π × 5² = 25π ≈ 78,54 см²
Почему πr²? Представьте себе, что вы разрезаете круг на множество тонких ломтиков пиццы, а затем переставляете их попеременно вверх и вниз, придавая форму, приближающуюся к прямоугольнику. «Ширина» приближается к πr (половина окружности), а «высота» приближается к r. Площадь = πr × r = πr².
Эллипс
A = π × a × b
Где a и b — большая и малая полуоси.
Пример: Эллипс с осями 6 см и 4 см: A = π × 3 × 2 = 6π ≈ 18,85 см²
##Трапеция (Трапеция)
A = ((a + b)) / (2) × h
Где a и b — параллельные стороны, а h — высота перпендикуляра.
Пример: Трапеция с параллельными сторонами 8 см и 5 см, высотой 4 см: A = (8+5)/2 × 4 = 6,5 × 4 = 26 см²
Параллелограмм
A = b × h
Основание умножается на перпендикулярную высоту (а не на наклонную сторону).
Пример: Параллелограмм с основанием 7 см и высотой 3 см: A = 7 × 3 = 21 см²
##Ромб (из диагоналей)
A = (d_1 × d_2) / (2)
Где d₁ и d₂ — две диагонали.
Пример: Ромб с диагоналями 10 см и 6 см: A = (10 × 6)/2 = 30 см²
Правильный многоугольник (n равных сторон)
A = (1) / (4) n s^2 cot((π) / (n))
Где n = количество сторон и s = длина стороны.
Пример: Правильный шестиугольник (n=6) со стороной 4 см: A = ¼ × 6 × 16 × детская кроватка(π/6) = 24 × √3 ≈ 41,57 см²
Сектор круга
A = (θ) / (360°) × π r^2
«Ломтик пиццы» круга, где θ — угол в градусах.
Пример: Сектор радиусом 5 см, угол 90°: A = (90/360) × π × 25 = 25π/4 ≈ 19,63 см²
Кольцо (Кольцо)
A = π(R^2 - r^2)
Область между двумя концентрическими кругами, где R — внешний радиус, а r — внутренний радиус.
Пример: Кольцо с внешним радиусом 8 см, внутренним радиусом 5 см: A = π(64 − 25) = 39π ≈ 122,52 см²
Составные фигуры
Если форма неправильная, разбейте ее на более простые части:
Пример: комната Г-образной формы.
Рассматривайте его как большой прямоугольник минус прямоугольник меньшего размера:
- Большой прямоугольник: 8м × 6м = 48 м².
- Недостающий угол: 3м × 2м = 6 м².
- Площадь Г-образной формы: 48 − 6 = 42 м²
Преобразование единиц измерения площади
Поскольку площадь двумерна, преобразование единиц осуществляется в квадрате:
| От | К | Умножить на |
|---|---|---|
| 1 м² | см² | 10,000 |
| 1 фут² | дюйм² | 144 |
| 1 акр | фут² | 43,560 |
| 1 гектар | м² | 10,000 |
| 1 миля² | акры | 640 |
Вычислить площадь сейчас
Наши калькуляторы формы справляются со всем вышеперечисленным — введите свои размеры и мгновенно, шаг за шагом, получите площадь.