Smerodajná odchýlka je najpoužívanejším meradlom rozptylu v štatistike. Hovorí vám, ako sú rozložené hodnoty okolo priemeru. Táto príručka to vysvetľuje od prvých princípov s fungujúcimi príkladmi.
Čo vám hovorí smerodajná odchýlka
Stredná hodnota vám povie stred množiny údajov. Smerodajná odchýlka vám hovorí, ako ďaleko sa hodnoty zvyčajne odchyľujú od tohto stredu.
Nízka štandardná odchýlka → hodnoty tesne okolo priemeru Vysoká štandardná odchýlka → hodnoty sa značne líšia od priemeru
Priemer dvoch tried skúšok je 70 %, ale:
- Trieda A: skóre 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1,4 (veľmi konzistentné)
- Trieda B: skóre 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22,4 (veľmi variabilné)
Rovnaký priemer, veľmi odlišné distribúcie.
Vzorec
Existujú dve verzie v závislosti od toho, či máte celú populáciu alebo vzorku.
Štandardná odchýlka populácie (σ)
Použite, keď máte údaje pre každého člena skupiny.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Vzorová štandardná odchýlka (y)
Použite, keď sú vaše údaje vzorkou z väčšej populácie (najbežnejší prípad).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Menovateľ je n − 1 (nie n) na korekciu odchýlky, ktorá pochádza z odhadu parametra populácie zo vzorky. Toto sa nazýva Besselova korekcia.
Výpočet krok za krokom
Súbor údajov: Výsledky testov pre 6 študentov: 72, 85, 68, 91, 74, 80
Krok 1: Nájdite priemer
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
Krok 2: Nájdite každú odchýlku od priemeru
| skóre | Odchýlka (x − x̄) | Štvorcová odchýlka |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
Krok 3: Spočítajte druhé mocniny odchýlok
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
Krok 4: Vydeľte číslom n − 1 (vzorka)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
Krok 5: Vezmite druhú odmocninu
s = √(74.67) = 8.64
Štandardná odchýlka je 8,64 bodu. Typické skóre študentov je asi 8–9 bodov od priemeru triedy.
Pravidlo 68-95-99,7
Pre normálne rozložené údaje (zvonová krivka) má štandardná odchýlka predvídateľný vzťah s rozptylom:
- 68 % hodnôt spadá do 1 SD priemeru
- 95 % hodnôt spadá do 2 SD priemeru
- 99,7 % hodnôt spadá do 3 SD priemeru
Použité na náš príklad (priemer = 78,33, SD = 8,64):
- 68 % skóre: 78,33 ± 8,64 → 69,7 až 86,97
- 95 % skóre: 78,33 ± 17,28 → 61,05 až 95,61
- 99,7 % skóre: 78,33 ± 25,92 → 52,41 až 104,25
Rozptyl verzus štandardná odchýlka
Variancia je druhá mocnina štandardnej odchýlky: s² = 74,67 v našom príklade.
Prečo používať štandardnú odchýlku namiesto rozptylu?
- Štandardná odchýlka je v rovnakých jednotkách ako vaše údaje (body, doláre, metre)
- Odchýlka je v štvorcových jednotkách – ťažšie sa interpretuje v praxi
- "Priemerné skóre sa odchýlilo o 8,64 bodu" má zmysel; "rozptyl bol 74,67 bodu²" nie je
Využitie v reálnom svete
Financie: Akcia s dennými výnosmi v priemere 0,05 % a SD 1,2 % je oveľa rizikovejšia ako akcia s rovnakým priemerným výnosom a SD 0,3 %. Štandardná odchýlka je základom merania volatility.
Výroba: Továreň vyrábajúca skrutky s cieľovým priemerom 10 mm a SD 0,02 mm je oveľa konzistentnejšia ako továreň s SD 0,5 mm. Kontrola kvality sa spolieha na SD.
Medicína: Klinické štúdie uvádzajú SD spolu s prostriedkami, aby ukázali, ako konzistentne fungovala liečba u pacientov.
Počasie: „Priemerná teplota 18 °C s SD 4 °C“ vám povie oveľa viac ako samotný priemer – viete, čo si máte zbaliť.
Z-skóre
Z-skóre prevádza akúkoľvek hodnotu na jednotky štandardnej odchýlky, čo umožňuje porovnanie medzi rôznymi množinami údajov:
z = /x - x̄s
Študent, ktorý v našom príklade dosiahol skóre 91:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Toto skóre je 1,47 štandardnej odchýlky nad priemerom – lepšie ako približne 93 % triedy.
Vypočítajte štandardnú odchýlku teraz
Naša štatistická kalkulačka vypočíta štandardnú odchýlku, rozptyl, priemer, medián, režim a ďalšie údaje z ľubovoľného súboru údajov, ktorý zadáte. Vložte svoje čísla a okamžite získajte úplné výsledky.