En andragradsekvation har formen ax² + bx + c = 0. Det finns fyra metoder att lösa dem – att veta vilken man ska använda och när gör algebra mycket snabbare.

Standardformulär

Varje andragradsekvation kan skrivas som:

ax² + bx + c = 0

Där a ≠ 0 (om a = 0 är det en linjär ekvation).

Exempel:

  • x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
  • 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
  • x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)

Metod 1: Factoring

Fungerar bäst när ekvationen stämmer in i heltal. Snabbaste metoden när tillämpligt.

Steg:

  1. Skriv i standardform
  2. Hitta två tal som multipliceras till (a × c) och lägg till b
  3. Dela mellantermen och faktor efter gruppering
  4. Ställ in varje faktor lika med noll

Exempel: x² − 5x + 6 = 0

  • Behöver två tal: multiplicera till 6, lägg till −5 → −2 och −3
  • Faktor: (x − 2)(x − 3) = 0
  • Lösningar: x = 2 eller x = 3

Exempel: 2x² + 5x + 3 = 0

  • a × c = 6, behöver faktorer läggas till 5 → 2 och 3
  • Skriv om: 2x² + 2x + 3x + 3 = 0
  • Faktor: 2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
  • Faktor: (2x + 3)(x + 1) = 0
  • Lösningar: x = −3/2 eller x = −1

När du ska använda: När du snabbt kan upptäcka faktorerna. Om du inte hittar faktorer inom 30 sekunder, byt metod.

Metod 2: Den kvadratiska formeln

Fungerar för varje andragradsekvation. Använd detta när factoring inte är uppenbart.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

Exempel: 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)

  • Diskriminerande: b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
  • √25 = 5
  • x = (−3 ± 5) ÷ 4
  • x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0,5 eller x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2

Diskriminanten: Hur många lösningar?

Uttrycket b² − 4ac berättar vad lösningarna har innan du löser:

Diskriminerande Antal lösningar Typ
b² − 4ac > 0 Två distinkta verkliga lösningar Verkliga siffror
b² − 4ac = 0 En upprepad lösning Riktiga, lika rötter
b² − 4ac < 0 Inga riktiga lösningar Två komplexa/imaginära rötter

Exempel: x² + 2x + 5 = 0

  • Diskriminerande = 4 − 20 = −16 → inga riktiga lösningar
  • Komplexa lösningar: x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i

Metod 3: Komplettera kvadraten

Omvandlar ekvationen till (x + p)² = q form. Viktigt för att förstå vertexformen och härleda den kvadratiska formeln.

Steg:

  1. Flytta konstant till höger sida
  2. Dividera med a (om a ≠ 1)
  3. Lägg till (b/2a)² på båda sidor
  4. Faktorera vänster sida som en perfekt kvadrat
  5. Ta kvadratroten på båda sidorna

Exempel: x² + 6x + 5 = 0

  1. x² + 6x = −5
  2. Lägg till (6/2)² = 9 på båda sidor: x² + 6x + 9 = 4
  3. (x + 3)² = 4
  4. x + 3 = ±2
  5. x = −1 eller x = −5

Metod 4: Plotta

Lösningarna (rötterna) är x-avsnitten för parabeln y = ax² + bx + c.

  • Två x-skärningar → två reella lösningar
  • En x-skärning (vertex på x-axeln) → en upprepad lösning
  • Inga x-skärningar → inga riktiga lösningar (komplexa rötter)

När du ska använda: För visuell förståelse eller när du använder en grafräknare. Inte praktiskt för exakta svar.

Att välja rätt metod

Situation Bästa metoden
Heltalskoefficienter, ser faktorbar ut Factoring först
Alla kvadratiska, behöver exakta svar Kvadratisk formel
Förstå vertex/minimum/maximum Kompletterar torget
Visuell förståelse eller approximation Grafer
b² − 4ac < 0 Kvadratisk formel (ger komplexa rötter)

Snabbreferens: Vanliga mönster

Skillnad mellan kvadrater: x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k

Perfekt kvadrattrinomial: x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k (upprepad)

Ingen mellanterm: ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) (verklig endast om c och a har motsatta tecken)

Summa och produkt av rötter

För ax² + bx + c = 0 med rötterna r₁ och r₂:

r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a

Exempel på verifiering: x² − 5x + 6 = 0, rötter 2 och 3:

  • Summa: 2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
  • Produkt: 2 × 3 = 6 = 6/1 ✓

Använd vår kubiska ekvationslösare för grad-3-ekvationer, eller använd den andragradsformel ovan för vilken standardkvadrat som helst.