Pythagoras sats är ett av de mest kända resultaten inom hela matematiken - enkelt nog att ange på en rad, tillräckligt djupgående för att ha över 370 kända bevis. Här är allt du behöver veta, från formeln till praktiska tillämpningar.
Formeln
För vilken rätvinklig triangel som helst (en triangel med en vinkel på 90°):
a^2 + b^2 = c^2
Där a och b är de två benen (sidorna som bildar den räta vinkeln) och c är hypotenusan (sidan mitt emot den räta vinkeln - alltid den längsta sidan).
Hitta var sida
Hitta hypotenusan (c):
c = √(a^2 + b^2)
Hitta ett ben (a):
a = √(c^2 - b^2)
Hitta det andra benet (b):
b = √(c^2 - a^2)
Arbetade exempel
Exempel 1: En rätvinklig triangel har ben på 3 cm och 4 cm. Hitta hypotenusan.
- c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 cm
Exempel 2: En stege som är 10 meter lång lutar sig mot en vägg, med basen 4 meter från väggen. Hur högt når den?
- a = √(10² - 4²) = √(100 - 16) = √84 ≈ 9,17 meter
Pythagoras trippel
En pytagoreisk trippel är en uppsättning av tre heltal som uppfyller a² + b² = c². Dessa dyker ofta upp i problem och är värda att memorera:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
Varje multipel av en trippel är också en trippel: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (15, 20, 25) alla fungerar.
Ett enkelt bevis
Det mest eleganta beviset använder områden. Rita en stor kvadrat med sidan (a + b). Inuti den, arrangera fyra kopior av den högra triangeln med benen a och b.
De fyra trianglarna tar upp arean 4 × (½ab) = 2ab. Det återstående utrymmet i den stora kvadraten måste vara c² (kvadraten på hypotenusan).
Den stora kvadraten har area (a + b)² = a² + 2ab + b².
Alltså: a² + 2ab + b² − 2ab = c²
Därför: a² + b² = c²
Real-World Applications
Bygg och snickeri
"3-4-5-regeln" används varje dag på byggarbetsplatser för att kontrollera att hörnen är perfekt fyrkantiga. Mät 3 enheter längs en vägg, 4 enheter längs den intilliggande väggen, kontrollera sedan att diagonalen mäter exakt 5 enheter. Om den gör det är vinkeln exakt 90°.
Navigering
Innan GPS använde navigatörer teoremet konstant. Om du reser 30 km österut och sedan 40 km norrut, är ditt raka avstånd från start √(30² + 40²) = √2500 = 50 km.
Moderna GPS-system använder en 3D-förlängning av satsen för att beräkna avstånd mellan koordinater.
Skärmstorlekar
En "65-tums TV" har ett diagonalt skärmmått på 65 tum. Om du känner till bildförhållandet (16:9) kan du hitta den exakta bredden och höjden med hjälp av satsen. För en 65" 16:9-skärm: bredd ≈ 56,7", höjd ≈ 31,9".
Teknik och fysik
Satsen är grundläggande inom konstruktionsteknik (beräkna bärande diagonaler), datorgrafik (återgivning av 3D-scener) och fysik (beräknar resulterande vektorer - den kombinerade effekten av två krafter i räta vinklar).
3D Extension: Distance Formula
Pythagoras sats sträcker sig naturligt till tre dimensioner:
d = √((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2)
Detta används i datorgrafik, fysiksimuleringar, GPS-beräkningar och alla system som arbetar med 3D-koordinater.
Beräkna Pythagoras sats nu
Använd vår kostnadsfria kalkylator för att hitta valfri sida av en rätvinklig triangel givet de andra två. Gå in på valfri två sidor och få den tredje direkt, tillsammans med steg-för-steg arbete.