En z-poäng mäter hur många standardavvikelser ett värde är från medelvärdet. Det är grunden för statistisk slutledning, vilket gör att du kan omvandla vilken normalfördelning som helst till en standardiserad skala där du kan hitta sannolikheter med hjälp av en universell normaltabell eller miniräknare.
Formeln
z = (x - μ) / σ
Där:
- x = värdet du utvärderar
- μ (mu) = befolkningsmedelvärde
- σ (sigma) = populationens standardavvikelse
En z-poäng på 0 betyder att värdet är lika med medelvärdet. Positiva z-poäng är över medelvärdet; negativa z-poäng är nedan. Storleken anger avståndet i standardavvikelser.
Arbetat exempel
Ett högskoleprov har medelvärdet 500 och standardavvikelsen 100. Du får 650. Vad har du för z-poäng?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Din poäng är 1,5 standardavvikelser över medelvärdet. Med hjälp av standardtabellen, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, vilket betyder att cirka 93,32 % av testdeltagarna fick poäng under dig.
Använda Z-Score-tabeller
Efter att ha beräknat z, slår man upp dess sannolikhet i en vanlig normaltabell, vilket ger kumulativa sannolikheter P(Z ≤ z). Tabeller visar:
- Ensidiga sannolikheter: P(Z ≤ z) eller P(Z ≥ z)
- Tvåsidiga sannolikheter: användbar för konfidensintervall och hypotestest
Till exempel motsvarar z = 1,96 P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975. Arean i båda svansarna bortom z = ±1,96 är 0,05, varför 1,96 är det kritiska värdet för 95 % konfidensintervall.
Vanliga Z-Score Cutoffs
| Z-poäng | Kumulativ sannolikhet | Percentil |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0,13:e |
| -2 | 0.0228 | 2.28:e |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50:e |
| 1 | 0.8413 | 84.13:e |
| 2 | 0.9772 | 97,72:a |
| 3 | 0.9987 | 99,87:e |
När ska användas
Z-poäng är avgörande för:
- Jämföra värden från olika distributioner
- Hitta sannolikheter med normalfördelningen
- Identifiera extremvärden (vanligtvis |z| > 3)
- Hypotestestning och konfidensintervall
- Standardisera testresultat
Tips
Z-poäng fungerar bara för normalfördelad data. Om din distribution är kraftigt sned eller har tunga svansar kommer z-poäng att vara missvisande. Kom också ihåg skillnaden mellan z (populationsparameter) och t (provstatistik) — använd z när σ är känd, t när du uppskattar det från stickprovet.
Använd vår Z-Score Calculator för att konvertera poäng till z-poäng och hitta sannolikheter direkt.