స్టాండర్డ్ డివియేషన్ అనేది గణాంకాలలో వ్యాప్తికి అత్యంత విస్తృతంగా ఉపయోగించే కొలత. మీ డేటా పటిష్టంగా క్లస్టర్ చేయబడిందా లేదా విస్తృతంగా చెల్లాచెదురుగా ఉన్నా - సగటు నుండి సాధారణ విలువ ఎంత దూరంలో ఉందో ఇది మీకు తెలియజేస్తుంది. మీరు ఒకసారి చేతితో గణన ద్వారా పని చేసిన తర్వాత, భావన సహజంగా మారుతుంది.

ప్రామాణిక విచలనం మీకు ఏమి చెబుతుంది

విద్యార్థుల తరగతికి 5 ప్రామాణిక విచలనంతో సగటు పరీక్ష స్కోరు 70 ఉంటే, చాలా స్కోర్లు 65 మరియు 75 మధ్య వస్తాయి. ప్రామాణిక విచలనం 20 అయితే, స్కోర్‌లు చాలా విస్తృతంగా ఉంటాయి - 50 నుండి 90 మరియు అంతకంటే ఎక్కువ.

ఒక చిన్న ప్రామాణిక విచలనం అంటే స్థిరత్వం. పెద్దది అంటే వైవిధ్యం.

జనాభా vs నమూనా ప్రామాణిక విచలనం

రెండు వెర్షన్లు ఉన్నాయి మరియు సరైనదాన్ని ఎంచుకోవడం ముఖ్యం:

జనాభా ప్రామాణిక విచలనం (σ): మీరు శ్రద్ధ వహించే సమూహంలోని ప్రతి సభ్యుని కోసం మీ వద్ద డేటా ఉన్నప్పుడు ఉపయోగించండి. n ద్వారా విభజించబడింది.

నమూనా ప్రామాణిక విచలనం (లు): మీ డేటా ఎక్కువ జనాభా నుండి తీసుకోబడిన నమూనా అయినప్పుడు ఉపయోగించండి. n − 1 ద్వారా భాగించబడుతుంది (మాదిరి ద్వారా పరిచయం చేయబడిన అనిశ్చితికి ఇది కారణమైన బెస్సెల్ యొక్క దిద్దుబాటు).

ఆచరణలో, మీరు దాదాపు ఎల్లప్పుడూ నమూనా ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఉపయోగిస్తారు — మీరు పూర్తి జనాభా గణనను లేదా తప్పిపోయిన సభ్యులు లేని నియంత్రిత డేటాసెట్‌ను విశ్లేషిస్తే మినహా.

దశల వారీ గణన

డేటాసెట్: 4, 7, 13, 2, 1 (5 విలువల నమూనా)

దశ 1: సగటును లెక్కించండి

Mean (x̄) = (4 + 7 + 13 + 2 + 1) / 5 = 27 / 5 = 5.4

దశ 2: సగటు నుండి ప్రతి విచలనాన్ని కనుగొనండి

ప్రతి విలువ నుండి సగటును తీసివేయండి:

విలువ (x) విచలనం (x - x̄)
4 4 - 5.4 = -1.4
7 7 - 5.4 = +1.6
13 13 - 5.4 = +7.6
2 2 - 5.4 = -3.4
1 1 - 5.4 = -4.4

దశ 3: ప్రతి విచలనాన్ని వర్గీకరించండి

స్క్వేర్ చేయడం ప్రతికూల సంకేతాలను తొలగిస్తుంది మరియు పెద్ద విచలనాలను నొక్కి చెబుతుంది:

విచలనం స్క్వేర్డ్ విచలనం
−1.4 1.96
+1.6 2.56
+7.6 57.76
−3.4 11.56
−4.4 19.36

దశ 4: స్క్వేర్డ్ విచలనాలను సంకలనం చేయండి

Sum = 1.96 + 2.56 + 57.76 + 11.56 + 19.36 = 93.2

దశ 5: n − 1 ద్వారా భాగించండి (నమూనా ప్రామాణిక విచలనం కోసం)

Variance (s²) = 93.2 / (5 − 1) = 93.2 / 4 = 23.3

దశ 6: వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి

Standard deviation (s) = √23.3 = 4.83

వ్యాఖ్యానం: ఈ డేటాసెట్‌లోని విలువలు సాధారణంగా 5.4 సగటు నుండి 4.83 యూనిట్ల దూరంలో ఉంటాయి.

ఫార్ములా వ్రాయబడింది

నమూనా ప్రామాణిక విచలనం:

s = √[ Σ(x − x̄)² / (n − 1) ]

జనాభా ప్రామాణిక విచలనం:

σ = √[ Σ(x − μ)² / n ]

ఇక్కడ μ (mu) అనేది జనాభా సగటు.

అనుభావిక నియమం (68-95-99.7 నియమం)

సాధారణ పంపిణీని అనుసరించే డేటా కోసం, ప్రతి పరిధిలోని డేటా నిష్పత్తితో ప్రామాణిక విచలనం విశ్వసనీయ సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది:

పరిధి డేటా నిష్పత్తి
సగటు ± 1 SD ~68%
సగటు ± 2 SD ~95%
సగటు ± 3 SD ~99.7%

అనువర్తిత ఉదాహరణ: IQ స్కోర్‌ల సగటు 100 మరియు SD 15.

  • 68% మంది వ్యక్తులు 85 మరియు 115 మధ్య స్కోర్ చేస్తున్నారు
  • 70 మరియు 130 మధ్య 95% స్కోర్
  • 55 మరియు 145 మధ్య 99.7% స్కోర్

ఈ నియమం సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన డేటాకు మాత్రమే వర్తిస్తుంది. వక్రీకృత లేదా భారీ తోక పంపిణీల కోసం, బదులుగా చెబిషెవ్ యొక్క అసమానతని ఉపయోగించండి.

వ్యత్యాసం vs ప్రామాణిక విచలనం

భేదం అనేది స్క్వేర్డ్ విచలనం (పైన 5వ దశ) — ప్రామాణిక విచలనం దాని వర్గమూలం. రెండూ స్ప్రెడ్‌ని కొలుస్తాయి, కానీ ప్రామాణిక విచలనం అసలు డేటా వలె అదే యూనిట్‌లలో వ్యక్తీకరించబడుతుంది, ఇది మరింత అర్థమయ్యేలా చేస్తుంది.

మీ డేటా కిలోగ్రాములలో ఉంటే, మీ ప్రామాణిక విచలనం కిలోగ్రాములలో ఉంటుంది. మీ వైవిధ్యం కిలోగ్రాముల-స్క్వేర్‌లో ఉంది, ఇది అర్థవంతంగా అర్థం చేసుకోవడం కష్టం.

సాధారణ అప్లికేషన్లు

ఫైనాన్స్: పెట్టుబడి అస్థిరతను కొలవడం. అధిక SD కలిగిన రోజువారీ రాబడి ఉన్న స్టాక్ మరింత అస్థిరంగా ఉంటుంది - అధిక సంభావ్య లాభం మరియు అధిక సంభావ్య నష్టం.

నాణ్యత నియంత్రణ: ఉత్పాదకత ఉత్పత్తులు సహనంతో ఉండేలా చూసుకోవడానికి SDని ఉపయోగిస్తుంది. SD చాలా పెద్దదిగా ఉన్న ప్రక్రియ చాలా లోపభూయిష్ట అంశాలను ఉత్పత్తి చేస్తుంది.

విద్య: పరీక్ష స్కోర్‌లను ప్రామాణీకరించడం. z-స్కోరు సగటు కంటే ఎక్కువ లేదా దిగువన ఉన్న స్కోర్ ఎన్ని ప్రామాణిక విచలనాలను తెలియజేస్తుంది: z = (x - సగటు) / SD.

సైన్స్: కొలత అనిశ్చితిని వ్యక్తం చేయడం మరియు ప్రయోగాత్మక ఫలితాలను పోల్చడం.

గణన కోసం సత్వరమార్గం

పెద్ద డేటాసెట్‌ల కోసం, విచలనాలను వ్యక్తిగతంగా లెక్కించకుండా ఉండే గణన సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:

s² = [Σx² − (Σx)²/n] / (n − 1)

ఇది గణితశాస్త్రపరంగా సమానమైనది కానీ డేటా ద్వారా మూడు పాస్‌లు కాకుండా కేవలం రెండు పాస్‌లు మాత్రమే అవసరం.

మీరు నమోదు చేసే ఏదైనా డేటాసెట్ కోసం SD, వైవిధ్యం మరియు పూర్తి బ్రేక్‌డౌన్‌ను లెక్కించడానికి మా ప్రామాణిక విచలనం కాలిక్యులేటర్ని ఉపయోగించండి.