స్టాండర్డ్ డివియేషన్ అనేది గణాంకాలలో వ్యాప్తికి అత్యంత విస్తృతంగా ఉపయోగించే కొలత. సగటు చుట్టూ విలువలు ఎలా విస్తరించాయో ఇది మీకు చెబుతుంది. ఈ గైడ్ మొదటి సూత్రాల నుండి పనిచేసిన ఉదాహరణలతో వివరిస్తుంది.
ప్రామాణిక విచలనం మీకు ఏమి చెబుతుంది
సగటు మీకు డేటాసెట్ మధ్యలో చెబుతుంది. ప్రామాణిక విచలనం విలువలు సాధారణంగా ఆ కేంద్రం నుండి ఎంత దూరం వెళతాయో తెలియజేస్తుంది.
తక్కువ ప్రామాణిక విచలనం → విలువలు సగటు చుట్టూ గట్టిగా క్లస్టర్ చేయబడ్డాయి అధిక ప్రామాణిక విచలనం → విలువలు సగటు నుండి విస్తృతంగా వ్యాపించాయి
రెండు పరీక్ష తరగతులు రెండూ సగటు 70%, కానీ:
- క్లాస్ A: స్కోర్లు 68, 69, 70, 71, 72 — SD ≈ 1.4 (చాలా స్థిరంగా)
- క్లాస్ B: స్కోర్లు 40, 55, 70, 85, 100 — SD ≈ 22.4 (హైలీ వేరియబుల్)
అదే సగటు, చాలా భిన్నమైన పంపిణీలు.
ఫార్ములా
మీకు పూర్తి జనాభా ఉందా లేదా నమూనా ఉందా అనే దానిపై ఆధారపడి రెండు వెర్షన్లు ఉన్నాయి.
జనాభా ప్రామాణిక విచలనం (σ)
సమూహంలోని ప్రతి సభ్యుని కోసం మీ వద్ద డేటా ఉన్నప్పుడు ఉపయోగించండి.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
నమూనా ప్రామాణిక విచలనం (లు)
మీ డేటా ఎక్కువ జనాభా నుండి నమూనా అయినప్పుడు ఉపయోగించండి (అత్యంత సాధారణ సందర్భం).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
నమూనా నుండి జనాభా పరామితిని అంచనా వేయడం ద్వారా వచ్చే పక్షపాతాన్ని సరిచేయడానికి హారం n − 1 (n కాదు). దీనిని బెస్సెల్ దిద్దుబాటు అంటారు.
దశల వారీ గణన
డేటాసెట్: 6 మంది విద్యార్థులకు పరీక్ష స్కోర్లు: 72, 85, 68, 91, 74, 80
దశ 1: సగటును కనుగొనండి
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
దశ 2: సగటు నుండి ప్రతి విచలనాన్ని కనుగొనండి
| స్కోర్ | విచలనం (x - x̄) | స్క్వేర్డ్ విచలనం |
|---|---|---|
| 72 | -6.33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | -10.33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | -4.33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
దశ 3: స్క్వేర్డ్ విచలనాలను సంకలనం చేయండి
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
దశ 4: n − 1 ద్వారా భాగించండి (నమూనా)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
దశ 5: వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి
s = √(74.67) = 8.64
ప్రామాణిక విచలనం 8.64 పాయింట్లు. ఒక సాధారణ విద్యార్థి స్కోర్ తరగతి సగటు నుండి 8–9 పాయింట్ల దూరంలో ఉంటుంది.
68-95-99.7 నియమం
సాధారణంగా పంపిణీ చేయబడిన డేటా (బెల్ కర్వ్), ప్రామాణిక విచలనం వ్యాప్తితో ఊహించదగిన సంబంధాన్ని కలిగి ఉంటుంది:
- 68% విలువలు సగటు యొక్క 1 SD పరిధిలోకి వస్తాయి
- 95% విలువలు సగటు యొక్క 2 SD పరిధిలోకి వస్తాయి
- 99.7% విలువలు సగటు యొక్క 3 SD పరిధిలోకి వస్తాయి
మా ఉదాహరణకి వర్తింపజేయబడింది (సగటు = 78.33, SD = 8.64):
- 68% స్కోర్లు: 78.33 ± 8.64 → 69.7 నుండి 86.97
- 95% స్కోర్లు: 78.33 ± 17.28 → 61.05 నుండి 95.61
- 99.7% స్కోర్లు: 78.33 ± 25.92 → 52.41 నుండి 104.25
వ్యత్యాసం vs ప్రామాణిక విచలనం
భేదం అనేది స్క్వేర్డ్ స్టాండర్డ్ డివియేషన్: మా ఉదాహరణలో s² = 74.67.
వైవిధ్యానికి బదులుగా ప్రామాణిక విచలనాన్ని ఎందుకు ఉపయోగించాలి?
- ప్రామాణిక విచలనం మీ డేటా (పాయింట్లు, డాలర్లు, మీటర్లు) వలె అదే యూనిట్లలో ఉంటుంది
- వైవిధ్యం స్క్వేర్డ్ యూనిట్లలో ఉంది — ఆచరణాత్మకంగా అర్థం చేసుకోవడం కష్టం
- "సగటు స్కోరు 8.64 పాయింట్ల తేడాతో" అర్థవంతమైనది; "వ్యత్యాసం 74.67 పాయింట్లు²" కాదు
వాస్తవ-ప్రపంచ ఉపయోగాలు
ఫైనాన్స్: రోజువారీ రాబడి సగటు 0.05% మరియు SD 1.2% ఉన్న స్టాక్ అదే సగటు రాబడి మరియు 0.3% SDతో పోలిస్తే చాలా ప్రమాదకరం. ప్రామాణిక విచలనం అనేది అస్థిరత కొలత యొక్క పునాది.
తయారీ: 10mm లక్ష్య వ్యాసంతో మరియు 0.02mm SDతో బోల్ట్లను ఉత్పత్తి చేసే ఫ్యాక్టరీ 0.5mm SDతో ఉన్న దాని కంటే చాలా స్థిరంగా ఉంటుంది. నాణ్యత నియంత్రణ SDపై ఆధారపడి ఉంటుంది.
ఔషధం: క్లినికల్ ట్రయల్స్ రోగులలో ఒక చికిత్స ఎంత స్థిరంగా పనిచేస్తుందో చూపించడానికి SDతో పాటు నివేదిస్తుంది.
వాతావరణం: "SD 4 °Cతో సరాసరి ఉష్ణోగ్రత 18°C" మీకు సగటు కంటే చాలా ఎక్కువ చెబుతుంది — మీకు ఏమి ప్యాక్ చేయాలో తెలుసు.
Z-స్కోర్లు
z-స్కోర్ ఏదైనా విలువను ప్రామాణిక విచలన యూనిట్లుగా మారుస్తుంది, వివిధ డేటాసెట్లలో పోలికను అనుమతిస్తుంది:
z = /x - x̄s
మా ఉదాహరణలో 91 స్కోర్ చేసిన విద్యార్థి:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
ఈ స్కోర్ సగటు కంటే 1.47 ప్రామాణిక విచలనాలు - తరగతిలో 93% కంటే మెరుగైనది.
ఇప్పుడు ప్రామాణిక విచలనాన్ని లెక్కించండి
మా గణాంకాల కాలిక్యులేటర్ మీరు నమోదు చేసే ఏదైనా డేటాసెట్ నుండి ప్రామాణిక విచలనం, వ్యత్యాసం, సగటు, మధ్యస్థం, మోడ్ మరియు మరిన్నింటిని గణిస్తుంది. మీ నంబర్లను అతికించండి మరియు తక్షణమే పూర్తి ఫలితాలను పొందండి.