Kübik denklem, genel formu ax³ + bx² + cx + d = 0 olan, 3. derece bir polinomdur. İkinci dereceden denklemlerden farklı olarak, kübik denklemlerin 1, 2 veya 3 gerçek çözümü olabilir ve çoğu insanın okulda öğrendiği basit bir kapalı form formülüne sahip değildir. Ancak Cardano formülü veya sayısal yöntemler kullanılarak çözülebilirler.

Genel Form

ax³ + bx² + cx + d = 0

a ≠ 0 olduğunda (aksi halde kübik değildir). Denklem şu şekilde olabilir:

  • 3 farklı gerçek kök
  • 1 gerçek kök ve 2 karmaşık eşlenik kök
  • Tekrarlanan bir kök (ayırt edici sıfıra eşit olduğunda)

Cardano'nun Formülü

Cardano'nun formülünü kullanmak için, önce x = t - b/(3a)'yı değiştirerek kübik sayıyı bastırın (x² terimini ortadan kaldırın):

t³ + pt + q = 0

Daha sonra kökler, diskriminant içeren karmaşık bir formül kullanılarak bulunur:

Δ = -4p³ - 27q²

Δ > 0 ise: üç farklı gerçek kök Δ = 0 ise: en az iki eşit gerçek kök Δ < 0 ise: bir gerçek kök ve iki karmaşık eşlenik kök

Çalışılan Örnek

X³ - 6x² + 11x - 6 = 0'ı çözün

Küçük tam sayıları inceleme veya deneme yoluyla test edebiliriz. x = 1'in test edilmesi:

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

Yani x = 1 bir köktür. Çarpanlara ayırma (x - 1):

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

Üç kök x = 1, 2, 3'tür.

Faktoring Olmadan Kökleri Bulma

İyi bir şekilde çarpanlara ayrılmayan kübik denklemler için şunu kullanın:

  1. Cardano formülü (cebirsel olarak kesin fakat karmaşık)
  2. Newton-Raphson gibi sayısal yöntemler (yinelemeli, her seferinde bir kök bulur)
  3. Newton-Raphson ile kökleri tahmin etmek ve hassaslaştırmak için grafik oluşturma

Uygulamalar

Kübik denklemler şu şekilde görünür:

  • Mühendislik (gerilme-gerinim analizi, akışkanlar dinamiği)
  • Fizik (direnç ortamında mermi hareketi, kübik malzemeler)
  • Ekonomi (optimizasyon problemleri, üretim maliyet eğrileri)
  • Bilgisayar grafikleri (kübik Bézier eğrileri)

İpuçları

Rasyonel köklerden şüpheleniyorsanız Rasyonel Kök Teoremini kullanın: Herhangi bir p/q rasyonel kökünde p bölen d ve q bölen a bulunur. Bu, test adaylarınızı önemli ölçüde daraltır. Kökleri her zaman değiştirerek doğrulayın.

İster gerçek ister karmaşık olsun, tüm kökleri anında bulmak için Kübik Denklem Çözücümüzü kullanın.