Standart sapma istatistiklerde en yaygın kullanılan yayılım ölçüsüdür. Değerlerin ortalama etrafında ne kadar yayıldığını gösterir. Bu kılavuz, bunu ilk prensiplerden yola çıkarak, üzerinde çalışılmış örneklerle açıklamaktadır.
Standart Sapma Size Ne Anlatıyor?
Ortalama size bir veri kümesinin merkezini söyler. Standart sapma, değerlerin genellikle o merkezden ne kadar uzaklaştığını gösterir.
Düşük standart sapma → değerler ortalamanın etrafında sıkı bir şekilde kümelenmiştir Yüksek standart sapma → değerler ortalamadan geniş bir alana yayılır
İki sınav sınıfının her ikisinin de ortalaması %70'tir, ancak:
- A Sınıfı: 68, 69, 70, 71, 72 puanları — SD ≈ 1,4 (çok tutarlı)
- B Sınıfı: 40, 55, 70, 85, 100 puanları — SD ≈ 22,4 (oldukça değişken)
Aynı ortalama, çok farklı dağılımlar.
Formül
Tam popülasyona mı yoksa bir örneğe mi sahip olduğunuza bağlı olarak iki versiyon vardır.
Nüfus Standart Sapması (σ)
Grubun her üyesine ait verileriniz olduğunda kullanın.
σ = √((Σ(x_i - μ)^2) / (N))
Örnek Standart Sapma(lar)
Verileriniz daha büyük bir popülasyondan alınan bir örnek olduğunda kullanın (en yaygın durum).
s = √( Σ(x_i − x̄)² / (n − 1) )
Bir örnekten bir popülasyon parametresinin tahmin edilmesinden kaynaklanan yanlılığı düzeltmek için payda n − 1'dir (n değil). Buna Bessel düzeltmesi denir.
Adım Adım Hesaplama
Veri kümesi: 6 öğrencinin test puanları: 72, 85, 68, 91, 74, 80
1. Adım: Ortalamayı bulun
x̄ = (72 + 85 + 68 + 91 + 74 + 80) / (6) = (470) / (6) = 78.33
2. Adım: Ortalamadan her sapmayı bulun
| Gol | Sapma (x − x̄) | Kare sapma |
|---|---|---|
| 72 | −6,33 | 40.07 |
| 85 | +6.67 | 44.49 |
| 68 | −10,33 | 106.71 |
| 91 | +12.67 | 160.53 |
| 74 | −4,33 | 18.75 |
| 80 | +1.67 | 2.79 |
3. Adım: Sapmaların karelerini toplayın
Σ(x - x̄)^2 = 40.07 + 44.49 + 106.71 + 160.53 + 18.75 + 2.79 = 373.34
4. Adım: n − 1'e bölün (örnek)
(373.34) / (6 - 1) = (373.34) / (5) = 74.67
5. Adım: Karekökü alın
s = √(74.67) = 8.64
Standart sapma 8,64 puandır. Tipik bir öğrenci puanı sınıf ortalamasından yaklaşık 8-9 puan uzaktadır.
68-95-99.7 Kuralı
Normal olarak dağıtılan veriler (çan eğrisi) için standart sapmanın yayılma ile öngörülebilir bir ilişkisi vardır:
- Değerlerin %68'i ortalamanın 1 SD dahilindedir
- Değerlerin %95'i ortalamanın 2 SD dahilindedir
- Değerlerin %99,7'si ortalamanın 3 SD dahilindedir
Örneğimize uygulandı (ortalama = 78,33, SD = 8,64):
- Puanların %68'i: 78,33 ± 8,64 → 69,7 ila 86,97
- Puanların %95'i: 78,33 ± 17,28 → 61,05 ila 95,61
- Puanların %99,7'si: 78,33 ± 25,92 → 52,41 - 104,25
Varyans ve Standart Sapma
Varyans standart sapmanın karesidir: örneğimizde s² = 74,67.
Neden varyans yerine standart sapma kullanılıyor?
- Standart sapma verilerinizle aynı birimlerdedir (puan, dolar, metre)
- Varyans birimlerin kareleri cinsindendir; pratikte yorumlanması daha zordur
- "Ortalama puanın 8,64 puan sapması" anlamlıdır; "Varyans 74,67 puandı²" değil
Gerçek Dünya Kullanımları
Finans: Günlük getirisi ortalama %0,05 ve SD'si %1,2 olan bir hisse senedi, aynı ortalama getirisi ve SD'si %0,3 olan bir hisse senedinden çok daha risklidir. Standart sapma, volatilite ölçümünün temelidir.
Üretim: Hedef çapı 10 mm ve SD'si 0,02 mm olan cıvatalar üreten bir fabrika, SD'si 0,5 mm olan bir fabrikadan çok daha tutarlıdır. Kalite kontrolü SD'ye dayanır.
Tıp: Klinik araştırmalar, bir tedavinin hastalar arasında ne kadar tutarlı şekilde çalıştığını gösteren araçların yanı sıra SD'yi de rapor etmektedir.
Hava durumu: "Ortalama sıcaklık 18°C, SD 4°C" size tek başına ortalamadan çok daha fazlasını anlatır; ne paketleyeceğinizi bilirsiniz.
Z-Skorları
Z-puanı, herhangi bir değeri standart sapma birimlerine dönüştürerek farklı veri kümeleri arasında karşılaştırma yapılmasına olanak tanır:
z = /x - x̄s
Örneğimizde 91 puan alan bir öğrenci:
z = (91 - 78.33) / (8.64) = (12.67) / (8.64) = +1.47
Bu puan ortalamanın 1,47 standart sapma üzerindedir; yani sınıfın yaklaşık %93'ünden daha iyidir.
Standart Sapmayı Şimdi Hesaplayın
İstatistik hesaplayıcımız girdiğiniz herhangi bir veri kümesinden standart sapmayı, varyansı, ortalamayı, medyanı, modu ve daha fazlasını hesaplar. Numaralarınızı yapıştırın ve anında tam sonuçları alın.