Normal dağılım (veya Gauss dağılımı), istatistikteki en önemli olasılık dağılımıdır. Kaç tane doğal olayın (test puanları, yükseklikler, ölçüm hataları, hisse senedi getirileri) dağıldığını açıklar ve çoğu istatistiksel çıkarımın ve hipotez testinin temelini oluşturur.
Formül
Normal bir dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
f(x) = (1 / (σ√(2π))) × e^(-(x-μ)²/(2σ²))
Nerede:
- μ (mu) = ortalama (dağılımın merkezi)
- σ (sigma) = standart sapma (dağılımın yayılması)
- x = değerlendirdiğiniz değer
- e ≈ 2,71828
- π ≈ 3,14159
Şekil çan eğrisidir ve değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın 1 standart sapması dahilinde, %95'i 2 standart sapma dahilinde ve %99,7'si 3 standart sapma dahilindedir (68-95-99,7 kuralı).
Çalışılan Örnek
Standartlaştırılmış bir testin ortalaması 100 ve standart sapması 15'tir. Rastgele bir puanın 115'ten az olma olasılığı nedir?
İlk önce z puanına dönüştürün:
z = (115 - 100) / 15 = 1.0
1,0'lık bir z-puanı, 115'in ortalamanın bir standart sapma üzerinde olduğu anlamına gelir. Standart bir normal tablo veya hesap makinesi kullanıldığında, P(z ≤ 1,0) ≈ 0,8413 veya %84,13.
Yani sınava girenlerin yaklaşık %84'ü 115'in altında puan alıyor.
Anahtar Özellikler
Normal dağılım tamamen ortalaması ve standart sapması ile tanımlanır. Ortalamanın kaydırılması eğriyi sola veya sağa hareket ettirir; Standart sapmanın arttırılması onu düzleştirir ve genişletir. Eğrinin altındaki toplam alan her zaman 1'e eşittir.
Herhangi bir normal dağılım, yukarıdaki z-puanı formülü kullanılarak standart normal dağılıma (ortalama 0, standart sapma 1) dönüştürülebilir. Bu standardizasyon, tek bir evrensel normal tablo kullanmanıza olanak tanır.
Ne Zaman Kullanılmalı
Aşağıdaki durumlarda normal dağılımı kullanın:
- Veriler merkezi bir değer etrafında kümelenir
- Değerler çan şeklindeki bir histogramı takip eder
- Merkezi Limit Teoremi uygulanır (herhangi bir dağılımdan alınan örnek ortalama normaldir)
- Hipotez testi veya güven aralıkları yapıyorsunuz
Gerçek dünyadaki sürekli verilerin çoğu kabaca normal bir dağılım izler ve bu da bunu uygulamalı istatistiklerin en önemli unsuru haline getirir.
İpuçları
Verilerin normal olduğunu varsaymadan önce histogram veya Q-Q grafiği kullanarak normalliği kontrol edin. Veriler aşırı derecede çarpıksa veya aykırı değerlere sahipse normal dağılım uygun olmayabilir. Normal olmayan veriler için parametrik olmayan testler veya veri dönüştürme kullanın.
Olasılıkları, yüzdelik dilimleri ve z puanlarını anında bulmak için Normal Dağılım Hesaplayıcımızı kullanın.