Z-puanı, bir değerin ortalamadan ne kadar standart sapma uzakta olduğunu ölçer. Herhangi bir normal dağılımı, evrensel bir normal tablo veya hesap makinesi kullanarak olasılıkları bulabileceğiniz standartlaştırılmış bir ölçeğe dönüştürmenize olanak tanıyan istatistiksel çıkarımın temelidir.
Formül
z = (x - μ) / σ
Nerede:
- x = değerlendirdiğiniz değer
- μ (mu) = nüfus ortalaması
- σ (sigma) = popülasyon standart sapması
Z-puanının 0 olması, değerin ortalamaya eşit olduğu anlamına gelir. Pozitif z-puanları ortalamanın üzerindedir; negatif z-puanları aşağıdadır. Büyüklük size standart sapma cinsinden mesafeyi söyler.
Çalışılan Örnek
Üniversiteye giriş sınavının ortalaması 500, standart sapması 100'dür. Puanınız 650'dir. Z puanınız nedir?
z = (650 - 500) / 100 = 150 / 100 = 1.5
Puanınız ortalamanın 1,5 standart sapma üzerindedir. Standart normal tabloyu kullanırsak, P(z ≤ 1,5) ≈ 0,9332, yani sınava girenlerin yaklaşık %93,32'si sizden daha düşük puan aldı.
Z-Score Tablolarını Kullanma
Z'yi hesapladıktan sonra, P(Z ≤ z) kümülatif olasılıklarını veren standart normal tablodaki olasılığını ararsınız. Tablolar şunları gösterir:
- Tek kuyruklu olasılıklar: P(Z ≤ z) veya P(Z ≥ z)
- İki kuyruklu olasılıklar: güven aralıkları ve hipotez testleri için kullanışlıdır
Örneğin z = 1,96, P(Z ≤ 1,96) ≈ 0,975'e karşılık gelir. Her iki kuyrukta z = ±1,96'nın ötesindeki alan 0,05'tir, bu nedenle 1,96 %95 güven aralıkları için kritik değerdir.
Yaygın Z-Skoru Kesintileri
| Z-Skoru | Kümülatif Olasılık | Yüzdelik dilim |
|---|---|---|
| -3 | 0.0013 | 0.13'üncü |
| -2 | 0.0228 | 2.28'inci |
| -1 | 0.1587 | 15.87 |
| 0 | 0.5000 | 50. |
| 1 | 0.8413 | 84.13 |
| 2 | 0.9772 | 97.72. |
| 3 | 0.9987 | 99.87. |
Ne Zaman Kullanılmalı
Z-puanları aşağıdakiler için önemlidir:
- Farklı dağılımlardaki değerlerin karşılaştırılması
- Normal dağılımı kullanarak olasılıkları bulma
- Aykırı değerlerin belirlenmesi (genellikle |z| > 3)
- Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Test puanlarının standartlaştırılması
İpuçları
Z puanları yalnızca normal olarak dağıtılan veriler için çalışır. Eğer dağılımınız ciddi derecede çarpıksa ya da kuyrukları ağırsa z-puanları yanıltıcı olacaktır. Ayrıca z (nüfus parametresi) ve t (örnek istatistiği) arasındaki farkı da unutmayın; σ biliniyorsa z'yi, örnekten tahmin ederken t'yi kullanın.
Puanları z puanlarına dönüştürmek ve olasılıkları anında bulmak için Z-Skor Hesaplayıcımızı kullanın.