Що таке Present Value of Annuity?
▾
Ануїтет — це фінансовий контракт, згідно з яким серія платежів здійснюється через регулярні проміжки часу протягом певного періоду або протягом усього життя. Поточна вартість ануїтету — це поточний одноразовий еквівалент усіх майбутніх платежів — сума грошей сьогодні, яка, якщо її інвестувати за заданою ставкою дисконту, дасть точний потік платежів, обіцяних ануїтетом. Розуміння теперішньої вартості є основоположним для страхування, пенсійного забезпечення та фінансового планування, оскільки воно дозволяє суттєво порівняти одноразову суму, отриману сьогодні, з потоком майбутніх платежів або між двома різними потоками платежів. Концепція теперішньої вартості втілює часову вартість грошей — долар, отриманий сьогодні, коштує більше, ніж долар, отриманий у майбутньому, оскільки сьогоднішній долар можна інвестувати та отримувати прибуток. Формула теперішньої вартості дисконтує кожен майбутній платіж до теперішнього часу, використовуючи ставку дисконту, яка відображає або альтернативну вартість капіталу, або припущення процентної ставки, яке використовує страховик або пенсійний фонд. Існує два основних типи ануїтетів з точки зору часу: звичайний ануїтет (або ануїтет із заборгованістю) здійснює платежі наприкінці кожного періоду, тоді як ануїтет до сплати здійснює платежі на початку. Різниця впливає на теперішню вартість рівно на коефіцієнт дисконтування за один період. У контексті страхування та пенсійного забезпечення розрахунок теперішньої вартості використовується для оцінки негайних ануїтетів з одноразовою премією (SPIA), для оцінки пенсійних зобов’язань, для розрахунку структурованих розрахункових значень, для визначення ціни продуктів довічного ануїтету, які включають рівень смертності, і для визначення одноразового еквівалента пенсійних виплат із визначеними виплатами. Актуарії розширюють основну формулу, враховуючи ймовірності виживання, створюючи актуарну поточну вартість — зважену за ймовірністю теперішню вартість, яка враховує ризик того, що одержувач ренти може померти до отримання всіх обіцяних платежів.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Розрахунок теперішньої вартості ануїтету:
Крок 1: визначте суму платежу (PMT), кількість періодів (n) і ставку дисконту за період (r).
Крок 2. Для звичайного ануїтету (виплати в кінці періоду) використовуйте формулу: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
Крок 3: для ануїтету, що підлягає сплаті (платежі на початку періоду), помножте результат звичайного ануїтету на (1 + r).
Крок 4. Для зростаючого ануїтету з постійним темпом зростання g використовуйте: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
Крок 5. Для безстрокових (нескінченних платежів) формула спрощується до: PV = PMT / r.
Крок 6. Для довічної ренти, що включає смертність, використовуйте актуарну теперішню вартість: помножте кожен платіж на ймовірність виживання за цей період, а потім дисконтуйте до поточної вартості.
Крок 7: Перевірте результати, підтвердивши, що сума всіх дисконтованих окремих платежів дорівнює обчисленій теперішній вартості.
Кожен крок спирається на попередній, поєднуючи обчислення компонентів у вичерпний результат поточної вартості ануїтету. Формула враховує математичні співвідношення, що регулюють поведінку поточної вартості ануїтету.Опис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| PV | Поточна вартість | dollars ($) | Поточна одноразова вартість, еквівалентна всьому майбутньому потоку платежів, дисконтована за ставкою r. |
| PMT | Періодичний платіж | dollars ($) | Сума кожного регулярного платежу в потоці ануїтету (вважається постійною для ануїтету рівня). |
| r | Ставка дисконту | percent (%/period) | Відсоткова або дисконтна ставка за період, що використовується для перетворення майбутніх платежів у поточну вартість; відображає часову вартість грошей. |
| n | Кількість періодів | periods | Загальна кількість періодів виплати в потоці ануїтету (місяців, років або кварталів). |
| FV | Майбутня вартість | dollars ($) | Накопичена вартість усіх ануїтетних платежів наприкінці платіжного періоду, складена за ставкою r. |
Як Present Value of Annuity
▾
- 1Визначте суму платежу (PMT), кількість періодів (n) і ставку дисконту за період (r).
- 2Для звичайного ануїтету (виплати в кінці періоду) використовуйте формулу: PV = PMT × [1 − (1 + r)^(-n)] / r.
- 3Для ануїтету до сплати (платежі на початку періоду) помножте результат звичайного ануїтету на (1 + r).
- 4Для зростаючого ануїтету з постійним темпом зростання g використовуйте: PV = PMT / (r − g) × [1 − ((1 + g)/(1 + r))^n].
- 5Для безстрокових (нескінченних платежів) формула спрощується до: PV = PMT / r.
- 6Для довічної ренти, що включає смертність, використовуйте актуарну теперішню вартість: помножте кожен платіж на ймовірність виживання за цей період, а потім дисконтуйте до поточної вартості.
- 7Перевірте результати, підтвердивши, що сума всіх дисконтованих окремих платежів дорівнює обчисленій теперішній вартості.
Розв'язані приклади
▾
Якщо ваша особиста ставка дисконту (очікуване повернення інвестицій) перевищує 5,05%, візьміть одноразову суму; нижче цього ануїтет є більш цінним
Поточна вартість у розмірі 50 000 доларів США на рік протягом 20 років із ставкою дисконту 5% дорівнює 623 111 доларів США, що трохи більше, ніж одноразова пропозиція у розмірі 620 000 доларів США. Рішення залежить від здатності переможця інвестувати одноразову суму. Якщо переможець може інвестувати на рівні 5,05% або вище, разова сума та самокерована інвестиція дають такі ж або кращі результати. Більшість фінансових консультантів рекомендують переможцям лотерей проконсультуватися з фінансовим планувальником, щоб змоделювати результати після сплати податків, оскільки державні податки застосовуються по-різному до одноразових виплат і ануїтетних платежів у багатьох юрисдикціях.
Це теперішня вартість пенсійного зобов’язання у віці 65 років — корисно для порівняння з одноразовою пропозицією викупу
Перетворивши місячну ставку дисконту на 4%/12 = 0,3333%/місяць протягом 300 місяців, поточна вартість 3500 доларів США на місяць становить приблизно 654 848 доларів США. Якщо пенсійний план пропонує одноразовий викуп, порівняння цієї цифри з пропозицією швидко виявить, чи є викуп справедливою вартістю. Пропозиції щодо викупу пенсій часто знижуються відносно актуарної вартості, що відображає бажання плану зменшити свої зобов’язання. Пропозиція нижче 654 848 доларів США (з використанням ставки дисконту 4%) може бути нижчою за справедливу вартість, хоча відповідна ставка дисконту є дискусійною.
Вік беззбитковості SPIA: 84,6 року. Щоб «виграти» ставку проти страховика, отримувач ренти повинен досягти 84+ років
Враховуючи премію в розмірі 200 000 доларів США та виплату в розмірі 1050 доларів США на місяць, передбачувана внутрішня норма прибутку ануїтету передбачає приблизно 246 місяців (20,5 років) виплат. У віці 65 років очікувана тривалість життя чоловіка становить приблизно 18–19 років (до 83–84 років), тобто передбачувана ціна є дещо консервативною. Перевага ануїтету щодо об’єднання смертності — страховик об’єднує ризик довголіття для багатьох одержувачів ануїтету — означає, що ті, хто живе понад очікувану тривалість життя, отримують більше, ніж вони платили, субсидуючи ті, хто помер рано. Ця функція страхування довголіття є основною цінністю довічних ануїтетів.
Крім того: PV цієї майбутньої одноразової суми зі знижкою 6% за 30 років = 87 538 доларів США — сьогоднішня вартість цих майбутніх заощаджень
Використовуючи майбутню вартість формули ануїтету з 500 дол. США на місяць, 360 періодами та місячною ставкою 0,5%, накопичені заощадження досягають 502 257 дол. США через 30 років. Це ілюструє потужність комплексного зростання регулярних внесків. Якби вам сьогодні запропонували 87 538 доларів США в обмін на ваші пенсійні заощадження, це було б математично еквівалентною одноразовою сумою за ставкою дисконту 6%. Розрахунок теперішньої та майбутньої вартості дозволяє здійснювати ці прямі порівняння поточних і майбутніх сум.
Практичне застосування
▾
Оцінка пенсій: актуарії розраховують теперішню вартість пенсійних зобов’язань із визначеними виплатами для фінансової звітності, що представляє важливу область застосування ануїтету за поточною вартістю в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ануїтету за теперішньою вартістю безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності.
Фізичні особи використовують ануїтет поточної вартості для особистого планування поточної вартості ануїтету, складання бюджету та прийняття рішень, що дає змогу робити обґрунтований вибір, що базується на математичній точності, а не на грубій оцінці, що особливо цінно для значних життєвих рішень, пов’язаних із поточною вартістю ануїтету.
Ціноутворення на страхові продукти: страховики розраховують еквіваленти премій для ануїтетних продуктів, використовуючи теперішню вартість очікуваних вигод, що представляє важливу область застосування ануїтету за теперішньою вартістю в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки поточної вартості ануїтету безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності.
Аналіз лотерейних призів: спеціалісти з фінансового планування розраховують PV лотерейних ануїтетних платежів порівняно з одноразовими альтернативами для оптимізації оподаткування, що представляє важливу область застосування ануїтету поточної вартості в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ануїтету поточної вартості безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності.
Планування доходу після виходу на пенсію: фінансові консультанти розраховують, скільки капіталу необхідно при виході на пенсію для фінансування конкретного місячного потоку доходу, що представляє важливу область застосування ануїтету поточної вартості в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ануїтету теперішньої вартості безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності.
Особливі випадки
▾
{'case': 'Безстроковість — нескінченний потік платежів', 'description': 'Безстроковість сплачує фіксовану суму назавжди — без дати погашення. Поточна вартість спрощується до PV = PMT / r. Безстроковість у 1000 доларів США на рік із ставкою дисконту 5% сьогодні коштує 20 000 доларів США. Дивіденди за привілейованими акціями та певні виплати благодійних фондів моделюються як безстрокові.'}
У ануїтеті за поточною вартістю цей сценарій вимагає додаткової обережності під час інтерпретації результатів ануїтету за поточною вартістю. Стандартна формула може не повністю врахувати всі чинники, наявні в цьому крайньому випадку, і може знадобитися додатковий аналіз або консультація експерта. Професійні найкращі практики включають документування припущень, виконання аналізу чутливості та перехресне посилання на результати з альтернативними методами, коли розрахунки теперішньої вартості ануїтету потрапляють на нестандартну територію.
{'case': 'Ціни ануїтету, залежного від життя', 'description': 'Для довічних ануїтетів, оцінених страховими компаніями, актуарії використовують структуру функції комутації на основі стандартних таблиць смертності (наприклад, SOA 2012 Individual Annuity Mortality table) для розрахунку APV, що включає дисконтування відсотків і смертність. Результатом є чиста разова премія до завантаження витрат і прибутку.'}
Поточна вартість 1000 доларів США на місяць ануїтету за дисконтною ставкою та терміном
▾
| Ставка дисконту | 10 років | 20 років | 30 років | Життя (чоловік 65 років, приблизно) |
|---|---|---|---|---|
| 2% | 108 977 доларів США | 197 928 доларів США | $270 471 | 188 000 доларів США |
| 4% | 98 771 доларів США | 165 024 доларів США | $209 461 | 163 000 доларів США |
| 5% | 94 281 долар США | 151 525 доларів США | $186 282 | 152 000 доларів США |
| 6% | 90 073 долари США | $139 581 | $166 791 | 141 000 доларів США |
| 8% | $82 421 | 119 554 доларів США | $136 283 | 122 000 доларів США |
Часті запитання
▾
Яка різниця між звичайним ануїтетом і ануїтетом до сплати?
Звичайний ануїтет (також званий ануїтетом із заборгованістю) здійснює свої періодичні платежі в кінці кожного платіжного періоду. Прикладом є платіж за іпотекою в кінці місяця — ви позичаєте гроші, використовуєте їх протягом місяця, а потім платите в кінці місяця. Виплата ануїтету здійснюється на початку кожного періоду. Орендна плата зазвичай є ануїтетом — ви платите на початку періоду оренди. Ануїтет до сплати коштує трохи більше, ніж еквівалентний звичайний ануїтет, оскільки кожен платіж отримано на один період раніше, що дозволяє ще один додатковий період складення або інвестування. Поточна вартість ануїтету до сплати дорівнює теперішній вартості звичайного ануїтету, помноженій на (1 + r), де r — ставка дисконту за період. Для більшості фінансових розрахунків, пов’язаних із іпотечними кредитами, позиками та страховими продуктами, за замовчуванням використовується звичайний ануїтет, якщо не зазначено інше.
Яку ставку дисконту слід використовувати для оцінки ануїтету?
Відповідна ставка дисконту залежить від мети розрахунку. Для актуарних оцінок страхування та пенсій регулятори зазвичай встановлюють стандартизовані ставки дисконту на основі дохідності казначейських облігацій або облігацій інвестиційного класу — історично вони коливалися в діапазоні 4–6%, хоча під час низьких ставок у 2010-х вони знизилися до 2–3%. Для особистих фінансових рішень, як-от порівняння одноразової пенсії та ануїтету, відповідна ставка є вашою альтернативною вартістю — прибуток, який ви можете отримати від одноразової суми за рахунок інвестицій із порівнянним ризиком. Для консервативних інвесторів 3–5% може бути прийнятним; для тих, хто добре ставиться до ризику фондового ринку, може застосовуватися 6–8%. Використання вищої ставки дисконту зменшує поточну вартість ануїтету, завдяки чому одноразові суми виглядають більш привабливими. Нижчі ставки збільшують поточну вартість, сприяючи вибору ануїтету. Немає єдиної універсально правильної ставки — вона має відображати конкретні обставини та толерантність до ризику особи, яка приймає рішення.
Що таке актуарна поточна вартість і чим вона відрізняється від звичайної PV?
Звичайний розрахунок поточної вартості передбачає, що всі заплановані платежі точно будуть отримані — це знижка на час, але не на ризик смерті чи інші непередбачені обставини. Актуарна теперішня вартість (APV) додатково включає ймовірність виживання (або інший непередбачений випадок) на кожну дату платежу, зважуючи кожен платіж за ймовірністю його фактичної виплати. Для довічної ренти APV використовує актуарні таблиці життя — статистичні таблиці, отримані в результаті досліджень смертності великого населення — для визначення ймовірності виживання для кожного майбутнього періоду виплати. APV довічного ануїтету нижчий, ніж звичайний PV того самого потоку платежів, оскільки деякі одержувачі ануїтетів помруть, не отримавши всіх виплат. Страховики оцінюють ануїтети на основі APV плюс навантаження на прибуток і витрати. Розуміння APV має важливе значення для справедливого порівняння довічної ренти з ануїтетом на певний період або одноразовою сумою.
Що таке відстрочений ануїтет проти негайного ануїтету?
Негайний ануїтет (зокрема Single Premium Immediate Annuity, або SPIA) починає виплачувати платежі протягом одного періоду (зазвичай одного місяця) після сплати премії. Покупець сплачує одноразову суму й одразу починає отримувати періодичний дохід — найчастіше використовується пенсіонерами, перетворюючи накопичені заощадження на гарантований дохід протягом усього життя. Відстрочений ануїтет накопичує кошти під час фази накопичення, причому виплата доходу починається в майбутньому (зазвичай після виходу на пенсію). Під час фази накопичення кошти зростають на основі відстрочених податків. Відстрочені ануїтети можуть бути фіксованими (гарантована відсоткова ставка), змінними (інвестовані на ринкових субрахунках) або фіксованими індексованими (прибутки, прив’язані до ринкового індексу з мінімальною гарантією). Відстрочені ануїтети - це в основному ощадні засоби зі страхуванням; негайні ануїтети - це в першу чергу інструменти розподілу доходу.
Як інфляція впливає на реальну вартість ануїтетних платежів?
Фіксовані ануїтетні платежі з часом втрачають купівельну спроможність через інфляцію. Ануїтет у розмірі 3000 доларів США на місяць, який сьогодні здається щедрим, дозволить купувати значно менше через 20 років, якщо інфляція становитиме в середньому 3% на рік — його реальна вартість становитиме приблизно 1661 долар США на місяць у сьогоднішніх доларах. Ця ерозія інфляції є значним ризиком для пенсіонерів, які залежать від фіксованого ануїтетного доходу. Варіанти пом’якшення інфляційного ризику включають: індексовані на інфляцію ануїтети (виплати збільшуються разом із ІСЦ, хоча вони починаються з нижчого), щорічне коригування вартості життя (зазвичай фіксований відсоток збільшення на 1–3%), інвестування в змінні ануїтети з субрахунками в акціонерному капіталі (прибуток може йти в ногу з інфляцією, але збільшує інвестиційний ризик) і підтримання окремого диверсифікованого інвестиційного портфеля поряд із меншим негайний ануїтет. Виплати соціального страхування, які індексуються на рівень інфляції, забезпечують частковий захист від інфляції для більшості пенсіонерів.
Яка різниця між фіксованим і змінним ануїтетом?
Фіксований ануїтет сплачує визначену гарантовану процентну ставку на фазі накопичення та забезпечує гарантовані виплати доходу на фазі розподілу. Страхова компанія несе інвестиційний ризик. Змінний ануїтет дозволяє накопиченій вартості та майбутнім платежам коливатися залежно від ефективності базових інвестиційних субрахунків (подібно до взаємних фондів). Страхувальник несе інвестиційний ризик, але також бере участь у потенціалі зростання. Змінні ануїтети зазвичай включають гарантовану мінімальну виплату на випадок смерті — якщо страхувальник помирає, бенефіціари отримують принаймні початкову премію (або іноді найвищу досягнуту вартість рахунку), навіть якщо ефективність інвестицій була негативною. Змінні ануїтети дорожчі за фіксовані, загальні річні витрати (управління інвестиціями плюс страхові збори) часто коливаються в межах 1,5–3,5%, що може значно зменшити довгострокову чисту прибутковість порівняно з прямим інвестуванням у взаємні фонди.
Коли має фінансовий сенс купувати негайний ануїтет?
Негайні ануїтети мають фінансовий сенс за певних обставин. Вони найбільше підходять для осіб, які: стикаються з ризиком довголіття (сімейний анамнез довгого життя), мають обмежені інші гарантовані джерела доходу (невелике соціальне страхування, відсутність пенсії), стурбовані тим, що переживуть свої заощадження, не мають спадкоємців або цілей планування майна для своїх активів і цінують психологічну користь від гарантованого доходу над максимальним очікуваним накопиченням багатства. Ефект об’єднання смертності від ануїтету — коли ті, хто рано помирає, фактично субсидують тих, хто живе довго — означає, що довгожителі отримують значно більше загальних платежів, ніж вони отримували б від самокерованих інвестицій, тоді як ті, хто рано помирає, отримують менше. Ануїтети, як правило, менш доречні для осіб із серйозними проблемами зі здоров’ям, які обмежують тривалість життя, для тих, хто має великий гарантований дохід з інших джерел (соціальне страхування, пенсія), або для тих, хто надає перевагу передачі багатства спадкоємцям.
Поширені помилки
▾
- !Використовуючи річну ставку дисконту безпосередньо з щомісячними платежами — завжди конвертуйте в ставку відповідного періоду: місячна ставка = річна ставка / 12.
- !Плутаючи звичайний ануїтет з ануїтетом, що має бути сплачений, — платежі наприкінці періоду порівняно з початком періоду змінюють теперішню вартість на коефіцієнт дисконтування одного періоду.
- !Ігноруючи інфляцію при оцінці фіксованого ануїтетного доходу — фіксовані 3000 доларів США на місяць звучить комфортно сьогодні, але матиме значно меншу купівельну спроможність через 20 років за 3% інфляції.
- !Використовуючи неправильну кількість періодів — ще раз перевірте, чи вказано термін у роках чи місяцях і чи відповідає ставка цій одиниці періоду.
- !Порівняння PV довічної ренти (яка включає смертність) із певною PV ануїтету (яка не враховує) без усвідомлення структурної різниці — навантаження смертності є реальною економічною характеристикою, а не помилкою.
Порада профі
Поточна вартість ануїтету зменшується зі збільшенням ставки дисконту. Коли відсоткові ставки низькі, ануїтети здаються дорожчими, оскільки майбутні платежі дисконтуються менш сильно.
Чи знаєте ви?
Слово «ануїтет» походить від латинського «annus» (рік). Один із найстаріших зареєстрованих договорів ануїтету датується римськими часами — римські солдати отримували ануїтети як компенсацію за військову службу, ранню форму пенсії.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Читати далі →Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.