Що таке Bond Price Calculator?
▾
Ціноутворення облігації — це процес визначення теперішньої вартості майбутніх грошових потоків облігації — її періодичних купонних виплат і остаточного погашення основної суми — дисконтованих за необхідною прибутковістю облігації (доходністю до погашення). Ціна облігації є сумою теперішньої вартості всіх цих грошових потоків і являє собою справедливу ринкову вартість, яку інвестори повинні бути готові заплатити за облігацію за поточних ринкових умов. Фундаментальним принципом є часова вартість грошей: долар, отриманий сьогодні, коштує більше, ніж долар, отриманий у майбутньому, оскільки сьогоднішній долар можна інвестувати, щоб отримати прибуток. Тому майбутні грошові потоки необхідно дисконтувати назад до теперішнього часу. Використовувана ставка дисконту є прибутковістю облігації до погашення (YTM), яка відображає поточну ринкову відсоткову ставку для облігацій подібної кредитної якості та терміну погашення, а також будь-який додатковий необхідний дохід для конкретних характеристик облігації. Співвідношення між цінами на облігації та прибутковістю є центральним для інвестицій з фіксованим доходом. Коли ринкові процентні ставки зростають, існуючі облігації з нижчими фіксованими купонами стають менш привабливими — інвестори вимагають нижчих цін, щоб отримати такий же загальний дохід, як і нові облігації. І навпаки, коли ставки падають, існуючі облігації з вищим купоном стають більш цінними, що підвищує ціни вище номіналу. Це обернене співвідношення є детермінованим і математично точним. Ціноутворення облігацій створює три сценарії на основі співвідношення між купонною ставкою та прибутковістю: (1) Номінальна вартість облігації — коли купонна ставка дорівнює прибутковості, ціна облігації точно відповідає номіналу (1000 доларів США); (2) Дисконтна облігація — коли купонна ставка нижча за прибутковість, ціна падає нижче номіналу, щоб компенсувати покупцям купон, нижчий від ринкового; (3) Преміальна облігація — коли купонна ставка перевищує прибутковість, ціна підвищується вище номіналу, відображаючи купонні виплати вище ринкових. Точне ціноутворення облігацій лежить в основі всього на ринках цінних паперів з фіксованим доходом: формування ринку, оцінка портфеля, оцінка застави, обчислення регулятивного капіталу та вимірювання ефективності. Розуміння формули ціноутворення облігацій є основоположним для тих, хто працює в цінні папери з фіксованим доходом або інвестує в цінні папери.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
P = C × [1 − (1+r)^−n] / r + F × (1+r)^−n
(де r = YTM/m, n = Years × m, C = F × CouponRate/m). Ця формула розраховує розрахунок ціни облігації шляхом зв’язку вхідних змінних через їхні математичні зв’язки. Кожен компонент представляє вимірну величину, яку можна незалежно перевірити.Опис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| P | Ціна облігації | currency | Поточна вартість усіх майбутніх грошових потоків — справедлива ринкова вартість облігації. |
| C | Купонна оплата | currency per period | Періодичні виплати відсотків: C = номінальна вартість × річна купонна ставка / частота купонів. |
| F | Номінальна вартість (номінал) | currency | Основна сума, що погашається в момент погашення; стандартно 1000 доларів для облігацій США. |
| r | Періодична врожайність | % per period | Ставка дисконту за період: r = YTM / m, де m - частота купонів. |
| n | Кількість періодів | count | Загальна кількість купонних періодів, що залишилися до погашення: n = років × m. |
| YTM | Прибутковість до погашення | % per year | Річний необхідний дохід, який використовується для дисконтування майбутніх грошових потоків; поточна ринкова дохідність для аналогічних облігацій. |
Як Bond Price Calculator
▾
- 1Зберіть параметри облігації: номінал (F), річну купонну ставку, частоту купонів (m — зазвичай 2 для піврічних облігацій США), роки до погашення та поточну ринкову прибутковість до погашення (YTM).
- 2Розрахуйте періодичну купонну виплату: C = F × (Річна купонна ставка / m). Для облігації на суму 1000 доларів США з 6% річним купоном, що виплачується кожні півроку: C = 1000 доларів США × 0,03 = 30 доларів США.
- 3Розраховуємо періодичну ставку дисконту: r = YTM / m. Якщо YTM = 5% і m = 2, то r = 0,025 (2,5% за період).
- 4Обчисліть загальну кількість періодів: n = кількість років до погашення × m. 10-річна піврічна облігація має n = 20 періодів.
- 5Обчисліть поточну вартість купонного ануїтету: PV_coupons = C × [1 − (1+r)^−n] / r. Ця формула оцінює потік рівних купонних платежів як ануїтет.
- 6Обчисліть поточну вартість номінальної вартості: PV_face = F / (1+r)^n. Це дисконтує одноразове погашення основної суми на момент погашення.
- 7Підсумуйте два компоненти: P = PV_coupons + PV_face. Це повна (брудна) ціна облігації — якщо ціна визначається між датами купонів, відніміть нараховані відсотки, щоб отримати чисту (котирувальну) ціну.
Розв'язані приклади
▾
Купонна ставка дорівнює прибутковості: ціни облігацій точно відповідають номіналу.
Коли купонна ставка дорівнює доходу до погашення, ціна облігації дорівнює її номіналу. PV_coupons = $22,50 × [1−(1,0225)^−20]/0,0225 = $22,50 × 15,9827 = $359,61. PV_face = $1000/(1,0225)^20 = $640,82. Разом = 359,61 $ + 640,82 $ = 1000,43 $ ≈ 1000 $ (з округленням). Нові державні облігації, як правило, випускаються за номіналом або близько до нього, з купоном, що дорівнює переважаючій ринковій прибутковості. Ось чому нові аукціони Казначейства встановлюють ставки купонів, що дорівнюють кліринговій прибутковості аукціону.
Доходність до погашення перевищує купонну ставку: облігації торгуються з дисконтом — ціна нижча за номінальну.
З періодичною прибутковістю r = 3%, n = 14 періодів і купоном C = 20 доларів США: PV_coupons = 20 доларів США × [1−(1,03)^−14]/0,03 = 20 доларів США × 11,2961 = 225,92 доларів США. PV_face = $1000/(1,03)^14 = $661,12 − насправді $1000/1,5126 = $661,12. Ціна = $225,92 + $661,12 = $887,04 ≈ $889 (невеликі різниці округлень). Ця облігація торгується нижче номіналу, оскільки 4% купон є менш привабливим, ніж 6% ринкова прибутковість. Знижка в розмірі 111 доларів США за поточними цінами забезпечує приріст капіталу на момент погашення, який доповнює купон, нижчий від ринкового, і забезпечує повний 6% доходу до погашення.
Купонна ставка перевищує прибутковість: облігації торгуються з премією вище номінальної.
Річний купон C = 5000 $ × 7 % = 350 $. З r = 5%, n = 5: PV_coupons = $350 × [1−(1,05)^−5]/0,05 = $350 × 4,3295 = $1515,33. PV_face = $5000/(1,05)^5 = $3917,63. Ціна = 1515,33 $ + 3917,63 $ = 5432,96 $. Купон на ці муніципальні облігації вище ринкового 7% робить його бажаним: інвестори підвищують ціну вище номінальної вартості в 5000 доларів США, що призводить до премії в 432,95 доларів США. Премія амортизується до нуля протягом 5 років, тому загальний прибуток інвестора дорівнює 5% YTM, незважаючи на те, що він сплачує вище номінальної вартості.
Нульовий купон: весь прибуток отримується від збільшення ціни покупки до номіналу.
За відсутності купонних виплат вся вартість облігації складається з погашення основної суми боргу на момент погашення. PV_face = 1000 доларів США / (1,035)^30 = 1000 доларів США / 2,8139 = 355,38 доларів США ≈ 354,49 доларів США (піврічна домовленість про компаундування). Інвестор, який сьогодні сплачує $354,49, отримає $1000 через 15 років — прибуток $645,51 — без проміжних грошових потоків. Цей великий дисконт створює значний процентний ризик (дуже висока тривалість), але не створює ризику реінвестування. Корпоративні облігації з нульовим купоном популярні для задоволення конкретних майбутніх потреб у готівці, наприклад, для фінансування освіти дитини або певного зобов’язання.
Практичне застосування
▾
Оцінка портфеля облігацій з фіксованим доходом: оцінка холдингів облігацій на ринку з використанням поточних рівнів кривої дохідності. Ця програма зазвичай використовується професіоналами, яким потрібен точний кількісний аналіз для підтримки прийняття рішень, бюджетування та стратегічного планування у відповідних галузях
Випуск корпоративних боргових зобов'язань: визначення ціни нових випусків облігацій відносно порівнянної ринкової прибутковості на момент розміщення. Практики галузі покладаються на цей розрахунок для порівняння продуктивності, порівняння альтернатив і забезпечення відповідності встановленим стандартам і нормативним вимогам
Регулятивний капітал: оцінка облігацій за ринковою оцінкою для розрахунку капіталу банківської та торгової книги. Академічні дослідники та студенти використовують ці обчислення для перевірки теоретичних моделей, виконання курсових завдань і глибшого розуміння математичних принципів, що лежать в основі
Управління заставою: визначення ринкової вартості облігацій, розміщених як застава для репо, деривативів і маржі. Фінансові аналітики та спеціалісти з планування включають цей розрахунок у свій робочий процес для створення точних прогнозів, оцінки сценаріїв ризику та надання рекомендацій на основі даних зацікавленим сторонам
Відповідність пенсійних і страхових зобов’язань: оцінка активів облігацій відносно дисконтованих грошових потоків зобов’язань для моніторингу фінансового стану. Ця програма зазвичай використовується професіоналами, яким потрібен точний кількісний аналіз для підтримки прийняття рішень, бюджетування та стратегічного планування у відповідних галузях
Особливі випадки
▾
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора ціни облігацій, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора ціни облігацій, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора ціни облігацій, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
Сценарії цін на облігації: 1000 доларів за номінал, 10-річний термін погашення, піврічні купони
▾
| Купонна ставка | Ринок YTM | Ціна облігації | Преміум / Дисконт | Класифікація |
|---|---|---|---|---|
| 2,0% | 5,0% | 767,59 доларів США | −232,41 дол | Велика знижка |
| 3,5% | 5,0% | $883,44 | −116,56 доларів США | Знижка |
| 5,0% | 5,0% | 1000,00 доларів США | 0,00 доларів США | Par |
| 5,0% | 3,5% | 1124,07 дол | +$124,07 | Преміум |
| 7,0% | 4,0% | 1243,33 дол | +$243,33 | Преміум |
| 0,0% (без купона) | 5,0% | 613,91 доларів США | −386,09 доларів США | Велика знижка |
| 10,0% | 5,0% | 1389,29 доларів США | +389,29 доларів США | Глибокий преміум |
Часті запитання
▾
Чому ціна облігації змінюється, навіть якщо в самій облігації нічого не змінюється?
Ціни на облігації постійно змінюються залежно від ринкових процентних ставок, навіть якщо власні умови облігацій (купон, термін погашення, номінальна вартість) залишаються фіксованими. Оскільки купонні виплати є фіксованими за контрактом, підвищення ринкової прибутковості робить фіксовані купони відносно менш привабливими — інвестори вимагають нижчої ціни, щоб досягти нині вищої ринкової прибутковості своїх інвестицій. І навпаки, коли ставки падають, фіксовані купони стають більш привабливими, а інвестори підвищують ціни. Облігація – це, по суті, фіксований потік грошових коштів; його ціна — це поточна вартість цього потоку за поточною ринковою ставкою дисконту, яка постійно коливається залежно від економічних умов, монетарної політики та схильності інвестора до ризику.
Яка різниця між чистою ціною та брудною ціною?
Чиста ціна (або фіксована ціна) — це ціна облігації без урахування нарахованих відсотків — це ціна, що котирується на фінансових ринках і в джерелах новин. Брудна ціна (або повна ціна) включає накопичені відсотки — частку наступного купонного платежу, накопичену з дати останнього купонного платежу. Коли ви насправді купуєте облігацію між купонними датами, ви платите брудну ціну (компенсуючи продавцю купонний дохід, який він заробив протягом періоду свого володіння). Брудна ціна = чиста ціна + нараховані відсотки. Нараховані відсотки скидаються до нуля на кожну дату виплати купона, пояснюючи, чому ціни на облігації, здається, дискретно падають у дати купонів на графіках, які показують брудні ціни.
Як визначити ціну облігації, термін погашення якої становить неціле число років?
При купівлі облігації між купонними датами стандартна ціна облігації вимагає коригування дробового першого періоду. Поточна вартість першого купона дисконтується на дробовий період із використанням дати розрахунку та наступної дати купона: PV_first_coupon = C / (1+r)^w, де w — частка купонного періоду, що залишився. Подальші грошові потоки дисконтуються (1+r)^(w + t − 1). Фінансові калькулятори та системи, такі як Bloomberg, автоматизують цей розрахунок. Отримана повна ціна включає нараховані відсотки; віднімання нарахованих відсотків дає чисту (котирувальну) ціну. Ось чому формула ціноутворення облігацій у підручниках (припускаючи цілі періоди) вимагає модифікації для реального застосування.
Що відбувається з ціною облігації, коли вона наближається до погашення?
Коли облігація наближається до терміну погашення, її ціна зближується до номінальної вартості — це явище називається «притягнення до номіналу». Облігації зі знижкою, що торгуються на рівні 900 доларів США, поступово піднімуться до 1000 доларів США в міру проходження кожного купонного періоду, а дисконтована поточна вартість номінальної вартості стане більшою відносно загальної суми. Преміальна облігація в 1050 доларів США поступово знизиться до 1000 доларів США. Це притягнення до номіналу відбувається навіть без будь-яких змін ринкових процентних ставок, просто завдяки плину часу та механізму дисконтування поточної вартості. На дату останнього купону (за день до погашення) ціна облігації дорівнюватиме номінальній вартості плюс остаточний купонний платіж.
Як кредитні рейтинги впливають на ціноутворення облігацій?
Кредитні рейтинги агентств (Moody's, S&P, Fitch) безпосередньо впливають на ціноутворення облігацій, впливаючи на необхідну YTM (ставку дисконту). Вищий кредитний ризик вимагає вищої премії за прибутковість (кредитний спред) над безризиковими казначейськими облігаціями, що означає нижчу ціну облігації за той самий купон. Корпоративні облігації з рейтингом BBB можуть торгуватися зі спредом 150 базисних пунктів до казначейських облігацій, тоді як для облігацій з рейтингом BB може знадобитися спред у 400 базисних пунктів. Коли рейтинг облігації знижується (наприклад, з A до BBB), її необхідна дохідність зростає, що спричиняє негайне зниження ціни. І навпаки, підвищення рейтингу спричиняє підвищення ціни. У крайніх випадках зниження рейтингу до рівня неінвестиційного («сміттєвого») змушує інституційних інвесторів продавати через обмеження мандатів, що спричиняє різке падіння цін.
Чи може ціна облігації коли-небудь перевищити її номінальну вартість на велику суму?
Так, облігації можуть торгуватися значно вище номіналу, якщо їх купонна ставка значно вища за поточну ринкову прибутковість або якщо вони мають дуже бажані характеристики (наприклад, надзвичайно низький кредитний ризик, висока ліквідність). У період низької прибутковості 2020–2021 років багато довгострокових облігацій із купонами 5–7% торгувалися значно вищими за 1000 доларів США, коли прибутковість ринку впала до 1–2%. Деякі довгострокові корпоративні облігації торгувалися вище 1300 або 1400 доларів США. Теоретична верхня межа не обмежена — коли дохідність наближається до нуля, теоретично ціни на облігації з тривалим терміном погашення з високим купоном можуть зростати без обмежень. Практична межа встановлюється ціною колл, якщо облігація може бути відкликана, що запобігає надто високому зростанню цін вище рівня колл.
Чим відрізняється ціна державних і корпоративних облігацій?
Ціна державних облігацій (казначейських, золотих, облігаційних зобов’язань) визначається з використанням тієї самої поточної вартості, але вони вважаються вільними від ризику дефолту, тому прибутковість від погашення відображає лише компонент безризикової ставки. Корпоративні облігації несуть кредитний ризик і, отже, вимагають вищого доходу (кредитного спреду) понад прибутковості державних облігацій, що призводить до нижчих цін за той самий купон і строк погашення. Кредитний спред компенсує інвесторам ризик дефолту (втрата купона або основної суми), ризик зниження рейтингу та, як правило, нижчу ліквідність порівняно з державними облігаціями. Високоприбуткові (сміттєві) облігації мають дуже великі кредитні спреди та торгуються з великими знижками, тоді як облігації інвестиційного рівня зазвичай торгуються майже на рівні зі скромними спредами.
Поширені помилки
▾
- !Використання річного купону у формулі без ділення на частоту купонів для піврічних облігацій — це завищує купонні виплати та спотворює ціну.
- !Безпосереднє використання YTM як періодичної ставки дисконту замість ділення на m — для піврічних облігацій періодична ставка має бути YTM/2.
- !Забувши включити погашення за номінальною вартістю після погашення у формулу ціноутворення — поточна вартість номінальної вартості часто становить 50–70% від загальної ціни облігацій для довгострокових облігацій.
- !Використовуючи чисту ціну як фактичну вартість, коли облігація купується між купонними датами — інвестори платять брудну ціну (чиста ціна + нараховані відсотки).
- !Якщо припустити, що ціна облігацій є статичною — ціни на облігації постійно змінюються в міру коливання ринкової прибутковості, і навіть якщо всі ринкові ставки залишаються незмінними, ціни змінюються з часом через динаміку рівня вирівнювання.
Порада профі
Використовуйте поточну вартість формули ануїтету для купонного потоку, а не дисконтуйте кожен купон окремо — це обчислювально еквівалентно, але набагато ефективніше, особливо для облігацій із багатьма періодами, що залишилися (наприклад, 60 періодів для 30-річної піврічної облігації).
Чи знаєте ви?
Найстаріша у світі облігація, що постійно торгується, була випущена органом управління водними ресурсами Нідерландів Stichtse Rijnlanden у 1648 році для фінансування ремонту дамби. Цю безстрокову облігацію, яка все ще виплачує щорічні відсотки в євро, шанують уже понад 375 років, і нещодавно її придбала бібліотека рідкісних книг Єльського університету через її історичне значення.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Ratings & comments
Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.