Що таке Bond Duration & Convexity?
▾
Дюрація та опуклість є двома основними мірами чутливості облігації до змін процентних ставок. Разом вони дозволяють інвесторам оцінити, наскільки зміниться ціна облігації при зміні прибутковості, забезпечуючи точне управління ризиком процентної ставки в портфелях з фіксованим доходом. Тривалість має дві основні форми. Дюрація Маколея, запроваджена Фредеріком Маколеєм у 1938 році, є середньозваженим часом отримання грошових потоків облігації (купонних виплат та основної суми), з вагами, пропорційними теперішній вартості кожного грошового потоку. Він виражається в роках і являє собою ефективний «час до окупності» інвестицій в облігації. Дюрація Маколея облігації з нульовим купоном дорівнює її терміну погашення, оскільки весь грошовий потік отримується в кінці; Дюрація Маколея купонної облігації менша за термін погашення, оскільки проміжні купонні виплати скорочують ефективний час очікування. Модифікована дюрація перетворює дюрацію Маколея на прямий показник чутливості до ціни: вона оцінює відсоткову зміну ціни облігації для зміни дохідності на 1% (100 базисних пунктів). Модифікована дюрація = дюрація Маколея / (1 + р/м), де у — дохідність до погашення, а m — кількість купонних періодів на рік. Наприклад, очікується, що ціна облігації з модифікованою дюрацією 7 впаде приблизно на 7%, якщо дохідність зросте на 100 базисних пунктів, або зросте на 7%, якщо дохідність впаде на 100 базисних пунктів. Опуклість є мірою чутливості до ціни другого порядку — вона фіксує кривизну у відносинах ціна-прибуток, яку пропускає лише дюрація. Оскільки ціни на облігації та дохідність мають опуклий (кривий) зв’язок, а не лінійний, дюрація недооцінює приріст ціни, коли дохідність падає, і переоцінює зниження ціни, коли дохідність зростає. Додавання коригування опуклості дає точнішу оцінку зміни ціни, особливо для великих коливань прибутковості. Позитивна опуклість (характеристика стандартних облігацій) означає, що облігація виграє від змін процентної ставки в обох напрямках відносно наближення лінійної дюрації. Іпотечні цінні папери можуть демонструвати негативну опуклість, коли падіння ставок викликає передоплату. Ці концепції є основоположними для імунізації портфеля облігацій, стратегій інвестицій, керованих зобов’язаннями (LDI), і управління ризиками з фіксованим доходом у банках, страхових компаніях і пенсійних фондах.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Модифікована тривалість = тривалість Маколея / (1 + рік/місяць)
ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Ця формула розраховує опуклість тривалості шляхом зв’язку вхідних змінних через їхні математичні зв’язки. Кожен компонент представляє вимірну величину, яку можна незалежно перевірити.Опис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| D_Mac | Маколей Тривалість | years | Середньозважений час отримання всіх грошових потоків із вагами, що дорівнюють теперішній вартості кожного грошового потоку, поділеній на загальну ціну облігації. |
| D_mod | Змінена тривалість | years (% per 1% yield change) | Приблизна відсоткова зміна ціни на 1% зміни врожайності: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). |
| C | Опуклість | years squared | Міра цінової чутливості другого порядку; фіксує кривизну співвідношення ціна-прибуток, не враховану тривалістю. |
| y | Прибутковість до погашення | % | Поточна дохідність облігації до погашення, яка використовується для дисконтування грошових потоків і обчислення дюрації. |
| m | Частота купонів | payments per year | Кількість купонних виплат на рік (наприклад, 2 для піврічних, 1 для річних). |
| ΔP/P | Зміна ціни (%) | % | Очікувана процентна зміна ціни облігації: ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)² |
Як Bond Duration & Convexity
▾
- 1Перелічіть усі майбутні грошові потоки облігації з їх розкладом: купонні виплати (Купон = номінальна вартість × купонна ставка / м) за кожний період і погашення номінальної вартості на момент погашення.
- 2Дисконтуйте кожен грошовий потік до його поточної вартості, використовуючи прибутковість до погашення: PV_t = CF_t / (1 + y/m)^t, де t — номер періоду.
- 3Підсумуйте всі поточні вартості, щоб отримати ціну облігації: P = Σ PV_t.
- 4Обчисліть тривалість Macaulay: D_Mac = Σ [t × PV_t] / P — середньозважений час (у періодах), потім розділіть на m, щоб перетворити в роки.
- 5Обчислення модифікованої тривалості: D_mod = D_Mac / (1 + y/m). Це чутливість облігації до ціни першого порядку — помножте на −1 і зміну дохідності, щоб оцінити відсоткову зміну ціни.
- 6Обчисліть опуклість: C = [Σ t(t+1) × PV_t / (1+y/m)²] / (P × m²). Цей член другого порядку коригує оцінку тривалості для кривизни кривої ціна-прибуток.
- 7Для заданої зміни врожайності Δy: оцініть ΔP/P ≈ −D_mod × Δy + 0,5 × C × (Δy)². Для малих Δy (< 25 біт/с) зазвичай достатньо лише терміну тривалості; для більших змін опуклість стає істотною.
Розв'язані приклади
▾
Облігація за номіналом: ціна = 1000 доларів США. Підвищення дохідності на 100 базисних пунктів → прибл. -7,93% зміни ціни.
Коли купонна ставка облігації дорівнює її доходності до погашення, вона торгується за номіналом (1000 доларів США). Тривалість Маколея 8,11 року відображає середньозважений час отримання грошових потоків за 10 років піврічних купонів плюс остаточна основна сума. Модифікована дюрація 7,93 означає, що облігація втрачає приблизно 7,93% у ціні за кожне 1% зростання дохідності. Для збільшення дохідності на 100 базисних пунктів: ΔP/P ≈ −7,93% × 1% + 0,5 × 79,5 × (0,01)² ≈ −7,93% + 0,40% = −7,53%, показуючи, як опуклість частково компенсує зменшення тривалості.
Нульовий купон: тривалість дорівнює терміну погашення. Найвища дюрація для певного терміну погашення — максимальна чутливість до курсу.
Облігація з нульовим купоном не виплачує проміжних купонів — увесь грошовий потік надходить на момент погашення. Таким чином, його Macaulay Duration точно дорівнює терміну погашення (20 років). З модифікованою дюрацією 19,05 збільшення дохідності на 1% спричиняє зниження ціни приблизно на 19,05%, що робить цю облігацію надзвичайно чутливою до змін процентної ставки. Дуже висока опуклість 399,7 забезпечує суттєвий захист від значних змін дохідності, але облігація залишається найбільш чутливим до процентної ставки інструментом для свого терміну погашення. Облігації з нульовим купоном широко використовуються в інвестиційних стратегіях, орієнтованих на зобов’язання, щоб точно відповідати довгостроковим зобов’язанням.
Високий купон відносно дохідності — торги вище номіналу (преміальні облігації). Низька швидкість чутливості.
З купоном 6% і прибутковістю 5% ця облігація торгується вище номіналу (преміальна облігація, ціна ≈ $1027,23). Високий купон прискорює надходження грошових коштів, зменшуючи тривалість Macaulay до 2,74 року, незважаючи на 3-річний термін погашення. Модифікована дюрація 2,67 означає зміну ціни лише на 2,67% за зміну доходності на 1%, що робить цю облігацію набагато менш чутливою до процентної ставки, ніж 10-річну казначейську облігацію або облігацію з нульовим купоном. Короткострокові корпоративні облігації використовуються для зниження ризику відсоткової ставки, водночас заробляючи кредитні спреди, що перевищують дохідність державних облігацій.
Дюрація портфеля є середньозваженим значенням тривалості компонентів.
Дюрація портфеля = 0,40 × 4,3 + 0,60 × 11,2 = 1,72 + 6,72 = 8,44. Ця драбина облігацій, що поєднує короткі та довгі облігації, досягає проміжної тривалості 8,44 року — подібно до 10-річної казначейської облігації — без утримання жодної 10-річної облігації. Ладдерінг забезпечує переваги ліквідності (погашення облігацій періодично) і дозволяє точно визначити тривалість. Менеджер портфеля, націлений на тривалість 8,0, може скорегувати ваги між облігаціями A та B, щоб досягти точної мети за допомогою простої лінійної алгебри.
Практичне застосування
▾
Імунізація портфеля облігацій: відповідність тривалості активів і зобов’язань для пенсійних фондів і страхових компаній. Ця програма зазвичай використовується професіоналами, яким потрібен точний кількісний аналіз для підтримки прийняття рішень, бюджетування та стратегічного планування у відповідних галузях
Хеджування процентної ставки: розрахунок коефіцієнтів хеджування ф’ючерсних зобов’язань казначейства або процентного свопу за допомогою DV01. Практики галузі покладаються на цей розрахунок для порівняння продуктивності, порівняння альтернатив і забезпечення відповідності встановленим стандартам і нормативним вимогам
Управління ризиками з фіксованим доходом: обчислення тривалості портфеля та лімітів DV01 для торгових столів. Академічні дослідники та студенти використовують ці обчислення для перевірки теоретичних моделей, виконання курсових завдань і глибшого розуміння математичних принципів, що лежать в основі
Побудова стратегії інвестицій, керованих зобов’язаннями (LDI) для активів пенсійного плану з визначеними виплатами. Фінансові аналітики та спеціалісти з планування включають цей розрахунок у свій робочий процес для створення точних прогнозів, оцінки сценаріїв ризику та надання рекомендацій на основі даних зацікавленим сторонам
Регулятивний капітал: розрахунок капіталу ризику відсоткової ставки на основі дюрації відповідно до стандартів Basel III Pillar 1 і IRRBB. Ця програма зазвичай використовується професіоналами, яким потрібен точний кількісний аналіз для підтримки прийняття рішень, бюджетування та стратегічного планування у відповідних галузях
Особливі випадки
▾
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора тривалості облігації та опуклості, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора тривалості облігації та опуклості, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зіткнувшись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора тривалості облігації та опуклості, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.
Типова тривалість і опуклість за типом облігації (приблизно, середовище ставки 2024)
▾
| Тип облігації | Зрілість | Змінена тривалість | Опуклість | Цінова чутливість до +100 біт/с |
|---|---|---|---|---|
| 3-місячний казначейський вексель | 3 місяці | 0.25 | 0.06 | −0,25% |
| 2-річна казначейська нота | 2 роки | 1.85 | 3.9 | −1,85% |
| 5-річна казначейська нота | 5 років | 4.40 | 21.0 | −4,40% |
| 10-річна казначейська облігація | 10 років | 7.95 | 79.5 | −7,55% |
| 30-річна казначейська облігація | 30 років | 16.50 | 367.0 | −14,66% |
| 10-річна облігація без купону | 10 років | 9.52 | 98.0 | −9,05% |
| Корпоративні облігації IG (10 років) | 10 років | 7.40 | 72.0 | −7,04% |
| Високоприбуткова облігація (5 років) | 5 років | 3.80 | 16.5 | −3,61% |
| MBS Pass-Through | ~30 років номінально | 3,0 – 5,0 | Негативний | від -3% до -5% |
Часті запитання
▾
Яка практична різниця між Macaulay та Modified Duration?
Дюрація Маколея виражається в роках і являє собою середньозважений час отримання грошових потоків облігації — це міра часу, а не міра чутливості до ціни. Модифікована дюрація є першою похідною від ціни облігації по відношенню до зміни дохідності (поділеної на ціну), і безпосередньо вимірює відсоткову зміну ціни для зміни дохідності на 1%. Для практичних застосувань — оцінки того, наскільки зміниться вартість облігації при зміні ставок — відповідним показником є модифікована дюрація. Дюрація Macaulay є більш корисною з точки зору концептуальної точки зору (розуміння часу грошових потоків) і для побудови імунізованих портфелів (відповідність тривалості активів і зобов’язань у роках).
Чому опуклість має значення і коли вона стає важливою?
Опуклість фіксує кривизну співвідношення ціна-прибуток. Лише дюрація забезпечує лінійну апроксимацію змін ціни, але фактична крива ціна-прибуток є опуклою — вона вигинається вгору. Для невеликих змін дохідності (менше 25 базисних пунктів) тривалості зазвичай достатньо. Для більших коливань дохідності (50–200+ базисних пунктів) опуклість стає все більш істотною. Під час різких коливань ставок у 2022 році (Федеральна резервна система підвищила ставки на 425 базисних пунктів за один рік) інвестори з правильно розрахованою опуклістю були набагато точнішими в оцінці втрат портфеля, ніж ті, хто покладався лише на дюрацію. Вища опуклість, як правило, бажана, оскільки це означає, що облігація менше втрачає, коли ставки зростають, і отримує більше, коли ставки падають.
Що таке негативна опуклість і які облігації її демонструють?
Більшість стандартних облігацій мають позитивну опуклість — підвищення ціни прискорюється, коли дохідність падає, а зниження ціни сповільнюється, коли дохідність зростає. Негативна опуклість є навпаки: приріст ціни сповільнюється, коли врожайність падає, а втрата ціни прискорюється, коли врожайність зростає. Це відбувається з облігаціями з можливістю відкликання (емітент відкликає облігацію, коли ставки падають, обмежуючи зростання ціни) та іпотечними цінними паперами (власники житла передплачують іпотечні кредити, коли ставки падають, скорочуючи термін дії цінного паперу саме тоді, коли ви хочете, щоб він був довгим). Зворотні плаваючі елементи також можуть демонструвати негативну опуклість. Цінні папери з від’ємною опуклістю зазвичай пропонують вищі доходи, щоб компенсувати інвесторам цю несприятливу характеристику.
Як дюрація використовується для імунізації портфеля облігацій?
Імунізація — це стратегія узгодження дюрації портфеля з дюрацією його цільових зобов’язань, щоб зміни процентних ставок однаково впливали як на активи, так і на пасиви, залишаючи надлишок фінансування незмінним. Пенсійний фонд із зобов'язаннями, які мають ефективну тривалість 12 років, орієнтувався б на портфель облігацій із модифікованою тривалістю 12 років. Коли ставки зростають, поточна вартість як активів, так і поточна вартість пасивів зменшується пропорційно, залишаючи коефіцієнт фінансування приблизно незмінним. Повна імунізація також вимагає відповідної опуклості: якщо опуклість активу перевищує опуклість зобов’язань, портфель має позитивну позицію (прибуток від будь-якої зміни дохідності). Стратегії інвестицій, керованих зобов’язаннями (LDI), які використовують пенсійні фонди та страхові компанії, побудовані на цій основі.
Що таке тривалість долара (DV01) і як вона використовується?
Доларова дюрація, яка зазвичай виражається як DV01 (доларова вартість базового пункту) або PVBP (цінова вартість базового пункту), вимірює зміну ціни облігації в доларовому еквіваленті на 1 базисний пункт (0,01%) зміни дохідності. DV01 = модифікована тривалість × ціна облігації × 0,0001. Наприклад, облігація з модифікованою дюрацією 8 і ціною 1 000 000 доларів США має DV01 = 8 × 1 000 000 доларів США × 0,0001 = 800 доларів США. DV01 широко використовується трейдерами з фіксованим доходом і портфельними менеджерами для визначення розміру позицій, розрахунку коефіцієнтів хеджування та передачі ризику в доларах, а не у відсотках, що більш інтуїтивно зрозуміло для великих портфелів і торгових відділень.
Як ставка купона впливає на тривалість?
Вищі купонні ставки спричиняють коротшу дюрацію, а нижчі (або нульові) купонні ставки спричиняють більшу дюрацію для облігацій з однаковим терміном погашення. Це пояснюється тим, що вищі купони означають, що інвестор отримує більшу частку загальних грошових потоків раніше (як проміжні купонні платежі), скорочуючи середньозважений час до отримання грошових потоків (тривалість Маколея). Таким чином, облігація з високим купоном є менш чутливою до процентної ставки, ніж облігація з низьким купоном такого ж терміну погашення. Цей зв’язок пояснює, чому облігації з нульовим купоном мають максимально можливу дюрацію (дорівнює терміну погашення) для будь-якої заданої тривалості погашення та рівня прибутковості.
Як рівень продуктивності впливає на тривалість і опуклість?
Тривалість і опуклість залежать від переважного рівня врожайності. Коли дохідність низька, дюрація, як правило, вища (оскільки ставки дисконту низькі, що робить віддалені грошові потоки більш цінними), а опуклість також вища. Коли врожайність висока, тривалість нижча, а опуклість нижча. Це особливо актуально в поточному середовищі, коли ставки значно зросли з майже нульових рівнів — портфелі, які, здавалося, мали високий ризик дюрації в 2020–2021 роках, тепер мають нижчу ефективну дюрацію при вищих рівнях прибутковості. Ця залежність від дохідності означає, що тривалість має бути перерахована щоразу, коли дохідність значно змінюється, а статичні оцінки тривалості можуть швидко стати неактуальними в умовах нестабільності ставок.
Поширені помилки
▾
- !Плутаючи тривалість Macaulay (у роках, на основі часу) з модифікованою тривалістю (у роках, але фактично мірою чутливості до ціни) — вони мають різні інтерпретації та використання.
- !Ігнорування опуклості для великих коливань дохідності — для змін дохідності, що перевищують 50 базисних пунктів, опуклість стає суттєвою та має бути включена в оцінку зміни ціни.
- !Якщо припустити, що дюрація постійна — дюрація змінюється в міру зміни дохідності, часу та надходження грошових потоків; його необхідно регулярно перераховувати для точного моніторингу ризику портфеля.
- !Застосування модифікованої дюрації до облігацій із вбудованими опціонами (з можливістю відкликання, погашення, забезпечені іпотечним кредитом) — для цих цінних паперів має використовуватися скоригована дюрація (OAD) або ефективна дюрація.
- !Використання лише дюрації для порівняння портфелів облігацій із різними профілями опуклості — два портфелі з однаковою дюрацією, але дуже різною опуклістю, мають істотно різні профілі ризику в середовищах з нелінійною ставкою.
Порада профі
Для практичного управління ризиками з фіксованим доходом використовуйте Dollar Duration (DV01), щоб передати ризик у грошовому виразі, а не у відсотках. Портфель із DV01 у розмірі 5000 доларів США змінює вартість на 5000 доларів США з кожним зміною прибутковості базисних пунктів, що відразу може бути інтерпретовано трейдерами, менеджерами з ризиків і менеджерами портфелів.
Чи знаєте ви?
Стаття Фредеріка Маколея 1938 року, в якій представлена дюрація Маколея, була частиною знакового дослідження процентних ставок США, проведеного на замовлення Національного бюро економічних досліджень, яке охоплювало понад століття. Концепція тривалості в основному ігнорувалась протягом майже трьох десятиліть, поки теорія імунізації не відродила інтерес до неї в 1960-х і 1970-х роках.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.