Що таке Portfolio Variance & Std Dev?
▾
Дисперсія портфеля вимірює загальний ризик комбінації інвестицій, враховуючи не лише окрему ризикованість кожного активу, а й те, як вони змінюються по відношенню один до одного. Коли два активи мають тенденцію рухатися в одному напрямку одночасно, їх поєднання мало знижує ризик. Але коли вони рухаються в протилежних напрямках — або навіть просто по-різному — їх змішування створює портфель, менш мінливий, ніж будь-який окремий компонент. Це математичний механізм, що лежить в основі диверсифікації, і саме тому володіння сумішшю акцій, облігацій, нерухомості та товарів може знизити загальний ризик портфеля, не обов’язково жертвуючи прибутком. Цю ідею формалізував Гаррі Марковіц у своїй статті «Вибір портфеля» 1952 року, яка принесла йому Нобелівську премію з економіки в 1990 році. До Марковіца інвестори майже повністю зосереджувалися на виборі хороших окремих цінних паперів. Його розуміння полягало в тому, що портфель в цілому має більше значення, ніж будь-яка окрема акція, і що кореляція між активами є ключем до розуміння сукупного ризику. Його структура, яка тепер називається сучасною теорією портфеля (MPT), ввела концепцію ефективного кордону: набір портфелів, які пропонують найвищий прибуток для будь-якого заданого рівня ризику або найменший ризик для будь-якого заданого прибутку. На практиці дисперсія портфеля обчислюється з використанням ваги кожного активу, його індивідуальної дисперсії (або стандартного відхилення) і попарних коваріацій між кожною комбінацією активів. З двома активами це проста формула; з двадцятьма активами вам потрібна коваріаційна матриця 20×20. Сучасне програмне забезпечення для оптимізації портфеля автоматично обробляє цю матричну алгебру, але розуміння основної логіки — що зменшення середньої попарної кореляції зменшує дисперсію портфеля — є важливим для будь-якого інвестора, який розробляє стратегію з декількома активами. Розбіжність портфеля також є центральною для звітності про ризики в професійному управлінні інвестиціями. Факторні моделі розкладають дисперсію портфеля на внески ринкового ризику, нахилу секторів, впливу стилю та ідіосинкратичного ризику, що дозволяє менеджерам портфелів точно зрозуміти, звідки походить їхній ризик і чи отримують вони за це компенсацію.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Два активи: σ²_p = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2·w₁·w₂·ρ₁₂·σ₁·σ₂
N-актив: σ²_p = Σᵢ Σⱼ wᵢ·wⱼ·σᵢⱼ (матрична форма: σ²_p = wᵀ·Σ·w)
Портфоліо Std Dev (σ_p) = √σ²_p
Коваріація: σᵢⱼ = ρᵢⱼ·σᵢ·σⱼОпис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| wᵢ | Вага активу | decimal (0–1) | Частка вартості портфеля, розподілена на актив i; сума всіх ваг повинна дорівнювати 1 |
| σᵢ | Стандартне відхилення активу | % per year | Параметр σᵢ представляє ключову кількісну вхідну інформацію в обчисленні дисперсії портфеля, виміряну в її стандартній одиниці та безпосередньо впливаючу на обчислений результат через математичну формулу |
| ρᵢⱼ | Коефіцієнт кореляції | dimensionless (−1 to +1) | Кореляція Пірсона між доходами активів i та j; −1 = абсолютно негативний, 0 = некорельований, +1 = ідеальний позитивний |
| σᵢⱼ | Коваріація | % squared per year | Спільна мінливість активів i та j; дорівнює ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ |
| Σ | Коваріаційна матриця | matrix | N×N симетрична матриця всіх попарних коваріацій; основний вхід для оптимізації портфоліо |
Як Portfolio Variance & Std Dev
▾
- 1Перелічіть кожен актив у портфелі з його поточною ринковою вартістю, а потім обчисліть вагу кожного активу, розділивши його вартість на загальну вартість портфеля.
- 2Зберіть стандартне відхилення (волатильність) у річному вимірі для кожного активу — зазвичай розраховане на основі місячної прибутковості за 3–5 років, потім перераховане на рік (помножте місячний σ на √12).
- 3Побудуйте матрицю попарної кореляції: для кожної пари активів обчисліть кореляцію їхніх історичних рядів прибутковості. Більшість програмного забезпечення для портфоліо або електронних таблиць можуть обчислити це на основі історії повернення.
- 4Перетворіть кореляції на коваріації: σᵢⱼ = ρᵢⱼ × σᵢ × σⱼ для кожної пари.
- 5Для двох активів застосуйте пряму формулу. Щоб отримати більше активів, обчисліть wᵀΣw за допомогою множення матриці — це внутрішній добуток вектора ваги на коваріаційну матрицю.
- 6Візьміть квадратний корінь із дисперсії портфеля, щоб отримати стандартне відхилення портфеля (σ_p) — більш інтуїтивний показник ризику, виражений у відсотках.
- 7Порівняйте σ_p зі зваженим середнім індивідуальних значень σ (Σwᵢσᵢ). Різниця полягає в перевагах диверсифікації — скільки ризику ви уникнули, об’єднавши активи, а не тримаючи кожен окремо.
Розв'язані приклади
▾
Середньозважене σ становитиме 0,60×18+0,40×6 = 13,2%; портфель досягає лише 10,5% — заощаджуючи 2,7% ризику завдяки диверсифікації.
Негативна кореляція між акціями та облігаціями (облігації часто зростають, коли акції падають) є джерелом зниження ризику. Ось чому портфель 60/40 став збалансованим розподілом за замовчуванням для пенсійних фондів і пожертвувань протягом десятиліть — він фіксує прибутковість акцій, суттєво зменшуючи волатильність.
Дві акції в одному секторі мають дуже високу кореляцію; диверсифікація зберігає лише ~1% ризику проти середньозваженого 29%.
Коли активи сильно корельовані, їх об’єднання дає мінімальну вигоду від диверсифікації. Тримання двох акцій технологічних компаній мало чим відрізняється від володіння однією акцією технологічних компаній у удвічі більшому розмірі. Для справжньої диверсифікації потрібні активи, які по-різному реагують на економічні умови, а не просто різні назви компаній в одному секторі.
Додавання золота (майже нульова кореляція з обома) знижує волатильність портфеля більше, ніж базовий рівень 60/40.
Розподіл золота вносить низьку кореляцію як з акціями, так і з облігаціями. Незважаючи на те, що саме золото є волатильним (15%), оскільки воно рухається незалежно від акцій та облігацій, його додавання зменшує загальну дисперсію портфеля. Це демонструє, наскільки волатильність окремого активу має менше значення, ніж його співвідношення з рештою портфеля.
Під час кризи співвідношення між активами зростає до 1,0, усуваючи диверсифікацію саме тоді, коли вона вам найбільше потрібна.
Це найважливіше обмеження портфельної дисперсії, розрахованої на основі даних звичайного періоду: кореляції нестабільні. Під час фінансової кризи 2008 року та розпродажу через COVID-19 у березні 2020 року майже всі ризикові активи впали одночасно, оскільки інвестори ліквідували все, щоб отримати гроші. Моделі, засновані на довгостроковій середній кореляції, різко недооцінюють ризик під час цих епізодів.
Практичне застосування
▾
Побудова ефективних портфелів із середньою дисперсією та обчислення ефективної межі, що представляє важливу область застосування для дисперсії портфеля в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки дисперсії портфеля безпосередньо підтримують обґрунтоване прийняття рішень, стратегічне планування та оптимізацію ефективності
Декомпозиція та розподіл ризиків в інституційному управлінні фондами, що представляє важливу область застосування для дисперсії портфеля в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки дисперсії портфеля безпосередньо підтримують прийняття обґрунтованих рішень, стратегічне планування та оптимізацію ефективності
Моделювання регулятивного капіталу відповідно до Базеля III для банків і платоспроможності II для страховиків, представляє важливу область застосування для дисперсії портфеля в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки дисперсії портфеля безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності
Робо-порадник і алгоритми побудови портфеля фондів на цільову дату, що представляють важливу область застосування для дисперсії портфеля в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки дисперсії портфеля безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності
Особливі випадки
▾
Неліквідні активи — нечасте ціноутворення
{'title': 'Неліквідні активи — нечасте ціноутворення', 'body': «Активи, які оцінюються рідко (приватний капітал, нерухомість), демонструють штучно низьку виміряну кореляцію з публічними ринками, оскільки їхні оцінки відстають. Цей «ефект згладжування» занижує справжню дисперсію та кореляцію. Моделі, які використовують прибутковість на основі оцінки для приватних активів, значно недооцінюють справжній ризик портфеля і завищені переваги диверсифікації Дімсона (1979) корекції або методи незгладжування повернення допомагають пристосуватися до цього."}
Товсті хвости та ненормальні доходи
{'title': 'Товсті хвости та ненормальні прибутки', 'body': 'Стандартна дисперсія портфеля передбачає нормально розподілені прибутки. Насправді прибутковість активів має товсті хвости — великі зміни відбуваються набагато частіше, ніж передбачає нормальний розподіл. Під час кризи 2008 року, кризи COVID-2020 і розпродажу облігацій 2022 року прибутковість становила 5–10 стандартних відхилень за нормальними стандартами розподілу. Очікуваний дефіцит (CVaR) і стрес-тестування доповнюють дисперсію для визначення хвостового ризику.'}
Помилка оцінювання в коваріаційних матрицях
{'title': 'Помилка оцінки в коваріаційних матрицях', 'body': 'Коваріаційні матриці, оцінені на основі історичних даних, шумлять, особливо для великих портфелів. Маючи 50 активів, ви оцінюєте 1225 коваріацій — кожна з них містить помилку оцінки. Оптимізатори підсилюють ці помилки, створюючи нестабільні портфелі з надзвичайною вагою. Оцінки усадки (Ledoit-Wolf), факторні моделі або надійні методи оптимізації зменшують чутливість до помилок оцінки.'}
Стандартне відхилення портфеля за кореляцією — 50/50, σ₁=20%, σ₂=15%
▾
| Кореляція (ρ) | Портфоліо σ | Ризик проти зваженого середнього (17,5%) | Інтерпретація |
|---|---|---|---|
| −1,0 (повний негатив) | 2,5% | −15,0% | Максимальна диверсифікація — можливий майже нульовий ризик |
| −0,5 | 10,4% | −7,1% | Сильна перевага диверсифікації |
| 0,0 (некорельований) | 12,5% | −5,0% | Гарна диверсифікація — незалежні активи |
| 0.5 | 14,4% | −3,1% | Помірна вигода — активи того ж напрямку |
| 0.8 | 16,5% | −1,0% | Мінімальна користь — висока кореляція |
| +1,0 (ідеальний позитивний) | 17,5% | 0% | Без диверсифікації — ідентичний середньозваженому |
Часті запитання
▾
Яка різниця між дисперсією портфеля та стандартним відхиленням портфеля?
Дисперсія портфеля (σ²_p) є квадратичною мірою ризику — одиницею є «відсоток у квадраті», що не є інтуїтивно зрозумілим. Стандартне відхилення портфеля (σ_p = √σ²_p) перетворює це назад у відсотки, які можна безпосередньо порівняти з доходністю активів. Якщо річне стандартне відхилення вашого портфеля становить 12%, це означає, що прибутковість зазвичай знаходиться в межах ±12% від середнього приблизно за дві третини років (одне стандартне відхилення). Обидва вимірюють те саме; стандартне відхилення частіше використовується на практиці, тому що одиниці вимірювання відповідають одиницям прибутковості.
Чому для диверсифікації кореляція важливіша за індивідуальну волатильність?
Додавання нестійкого активу до вашого портфеля може фактично знизити загальний ризик портфеля, якщо цей актив має низьку або негативну кореляцію з наявними активами. Наприклад, річна волатильність золота становить 15–20%, що можна порівняти з акціями, але додавання 10–15% золота до портфеля акцій-облігацій зазвичай зменшує загальну волатильність портфеля. Математика робить це точним: перехресний добуток (2·w₁·w₂·ρ·σ₁·σ₂) віднімається, коли ρ від’ємне, і додається, коли ρ додатне. Кореляція – це буквально параметр, який визначає, чи працює диверсифікація.
Скільки активів необхідно для адекватної диверсифікації?
Дослідження Еванса та Арчера (1968) показали, що більшість ідіосинкратичних (специфічних для компанії) ризиків усувається за допомогою приблизно 20–30 випадково вибраних акцій. Крім того, додавання додаткових акцій незначно зменшує ризик. Проте портфель із 30 акцій США диверсифікований лише щодо ризику, характерного для компанії, — він все ще повністю піддається ризику фондового ринку США, секторальному ризику та факторним ризикам. Справжня диверсифікація потребує перетину класів активів (акції, облігації, нерухомість, товари, альтернативи) та географії (внутрішні, міжнародні розвинені ринки, ринки, що розвиваються).
Що таке коваріаційна матриця і як її побудувати?
Коваріаційна матриця (Σ) — це сітка N×N, де кожен запис [i,j] показує коваріацію між активом i та активом j. Діагональні записи є індивідуальними дисперсіями (σᵢ²). Матриця є симетричною (запис [i,j] = [j,i]), оскільки коваріація між A і B дорівнює коваріації між B і A. Щоб побудувати її на основі історичних даних: зберіть місячну прибутковість для всіх активів, обчисліть попарні коваріації за допомогою функції COVAR у Excel або numpy.cov() у Python, а потім переведіть на рік, помноживши на 12 (для вхідних даних щомісяця).
Що таке портфель з мінімальною дисперсією?
Портфель з мінімальною дисперсією — це комбінація активів — специфічна для ваг кожного активу — яка створює найменшу можливу дисперсію портфеля серед усіх можливих комбінацій розподілу. Він розташований у крайній лівій точці ефективного кордону. Це не обов’язково оптимальний портфель (він жертвує очікуваною прибутковістю), але він представляє максимальну вигоду від диверсифікації, яку можна досягти за наявних активів. Для випадку двох активів мінімальна вага дисперсії для активу 1 становить: w₁ = (σ₁² − σ₁₂) / (σ₁² + σ₂² − 2σ₁₂), де σ₁₂ є коваріацією.
Як кредитне плече впливає на дисперсію портфеля?
Кредитне плече збільшує дисперсію портфеля на квадрат коефіцієнта кредитного плеча. Якщо ви позичаєте 50% вартості портфеля для інвестування (кредитне плече 1,5×), дисперсія портфеля збільшується в 1,5² = 2,25, а стандартне відхилення збільшується в 1,5×. Це означає, що 12% річне стандартне відхилення при 1× стає 18% при 1,5×. Кредитне плече не можна диверсифікувати — воно масштабує всі компоненти пропорційно. Ось чому фонди з високим рівнем левериджу (наприклад, 2× і 3× ETF) мають значно вищу волатильність, ніж їхні базові індекси.
Яка різниця між дисперсією портфеля в MPT і ризиком факторної моделі?
MPT обчислює загальну дисперсію портфеля на основі необробленої історії прибутку. Факторні моделі (CAPM, Fama-French, Barra) розкладають дисперсію портфеля на систематичні компоненти (ринковий ризик, ризик розміру, ризик вартості, ризик моментуму) та ідіосинкратичний компонент. Дисперсія факторної моделі дає більше розуміння того, чому ви маєте такий ризик — це ринкова бета-версія, концентрація сектору чи нахили факторів? Для управління портфелем декомпозиція факторного ризику є більш дієвою; для точного обчислення дисперсії більш точним є підхід коваріаційної матриці.
Поширені помилки
▾
- !Використання стандартних відхилень активів у відсотках (наприклад, 20), а не десяткових дробів (0,20) — формула вимагає десяткових дробів, і їх змішування дає безглузді результати.
- !Ігнорування кореляції та просто усереднення стандартних відхилень активів — це переоцінює ризик портфеля та втрачає весь сенс диверсифікації.
- !Якщо припустити, що історичні кореляції є стабільними — кореляції різко змінюються між нормальним і кризовим режимами. Завжди проводите стрес-тести з підвищеними припущеннями кореляції.
- !Використовуючи місячну прибутковість без перерахунку на рік — помножте місячну дисперсію на 12, щоб отримати річну дисперсію, або помножте місячну σ на √12, щоб отримати річну σ.
- !Вважаючи портфель акцій в тому самому секторі диверсифікованим — секторальні акції мають кореляцію вище 0,7 і забезпечують мінімальне зменшення дисперсії.
Порада профі
Виконайте два обчислення дисперсії портфеля: один з використанням довгострокових середніх кореляцій (нормальний період) і інший з використанням кореляцій періоду кризи (припустимо, що всі кореляції ризикованих активів підскочать до 0,80+). Розрив між цими двома цифрами є вашим «кредитом диверсифікації» — обсягом зниження ризику, який може зникнути під час справжньої кризи. Консервально оцінюйте свій бюджет ризиків у порівнянні зі сценарієм кореляції кризи.
Чи знаєте ви?
Повідомляється, що Гаррі Марковіц розробив свою структуру дисперсії портфеля, будучи докторантом у 1950-х роках, коли читав «Теорію інвестиційної вартості» Джона Берра Вільямса в університетській бібліотеці. Його думка про те, що інвестори повинні дбати про портфелі, а не про окремі акції, з’явилася в один день. У промові його лауреата Нобелівської премії було зазначено, що Мілтон Фрідман спочатку припустив, що ця робота не є економікою. Десятиліттями пізніше коваріаційна матриця Марковіца є вбудованою в усі інституційні інвестиційні процеси у світі.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.