Поглиблені фінанси та бізнес

Credit Default Probability

Credit Spread (%)

Recovery Rate (%)

Horizon (years)

Що таке Credit Default Probability?

▾

Імовірність дефолту (PD) — це основна концепція вимірювання кредитного ризику, яка представляє ймовірність того, що позичальник — корпорація, фінансова установа, суверенна чи фізична особа — не зможе здійснити виплати, передбачені договором, протягом визначеного періоду часу. PD є одним із трьох основних параметрів Базельської системи кредитного ризику, поряд із втратою в разі дефолту (LGD) і ризиком у разі дефолту (EAD), і він керує як очікуваними збитками, так і розрахунками регулятивного капіталу. Існує три основні підходи до оцінки PD. Структурний підхід, започаткований Робертом Мертоном у 1974 році, моделює капітал компанії як опціон колл на її активи: дефолт виникає, коли вартість активів падає нижче номінальної вартості боргу («бар’єр дефолту») на момент погашення. Відстань до дефолту (DD) — вимірюється в стандартних відхиленнях вартості активу від бар’єру дефолту — є ключовим результатом, а PD оцінюється за нормальним розподілом цієї відстані. Модель Moody's KMV є провідною комерційною реалізацією структурного підходу Мертона, яка використовує оціночну вартість активів і волатильність для обчислення очікуваної частоти дефолту (EDF). Підхід зменшеної форми (інтенсивності) розглядає дефолт як несподівану подію, що регулюється коефіцієнтом ризику λ (миттєва умовна ймовірність дефолту), який можна відкалібрувати відповідно до ринкових цін свопів кредитного дефолту (CDS) або кредитних спредів облігацій. PD над горизонтом T = 1 − e^(−λT). Цей підхід є більш гнучким, ніж структурна модель, і може включати змінну в часі інтенсивність за замовчуванням. Підходи, засновані на кредитних показниках (включаючи моделі логістичної регресії, моделі рейтингових агентств і моделі машинного навчання), оцінюють PD на основі фінансових характеристик позичальника: коефіцієнтів кредитного плеча, прибутковості, коефіцієнтів покриття, ліквідності, розміру та галузі. Історичні ставки дефолту рейтингових агентств забезпечують емпіричне відображення кредитного рейтингу та історичного PD на різних горизонтах. Точна оцінка PD має важливе значення для ціноутворення позики (кредитний спред повинен компенсувати очікувані збитки = PD × LGD), розрахунку регулятивного капіталу (підхід Базельського IRB дозволяє банкам використовувати внутрішні моделі PD), управління кредитним ризиком портфеля та оцінки кредитного ризику контрагента в угодах з деривативами.

Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.

Формула

▾

f(x)

Мертон PD: PD = N(−d2), де d2 = [ln(V/D) + (μ − σ_V²/2)T] / (σ_V √T)
Рівень ризику PD: PD(T) = 1 − e^(−λT)
Кредитний трикутник: λ ≈ Кредитний спред / LGD | CS ≈ PD × LGD / (1−PD)

Опис змінних

▾

Символ	Ім'я	Одиниця	Опис
PD	Ймовірність дефолту	%	Імовірність дефолту протягом визначеного періоду (1 рік є стандартним); основний параметр кредитного ризику.
DD	Відстань до замовчування	standard deviations	У моделі Мертона: (вартість активів − точка за замовчуванням) / (об’єм активів × вартість активів); кількість стандартних відхилень вище за умовчанням.
λ	Коефіцієнт ризику	per year	Миттєва умовна ймовірність дефолту в одиницю часу; використовується в моделях скороченої форми: PD = 1 − e^(−λT).
LGD	Втрата внаслідок дефолту	%	Очікувана частка втраченої експозиції в разі дефолту; доповнення до швидкості відновлення. EL = PD × LGD × EAD.
CS	Кредитний спред	bps	Вимагається додаткова дохідність понад безризикову ставку; приблизно CS ≈ λ × LGD для коротких термінів погашення (кредитний трикутник).

Як Credit Default Probability

▾

1Виберіть підхід до оцінки: структурний (Мертон) для публічних компаній з даними про капітал; скорочена форма для назв, що торгуються CDS; на основі рейтингів для компаній з кредитними рейтингами.
2Для моделі Мертона: оцініть вартість активів (V) і волатильність активів (σ_V) шляхом ітераційного розв’язування системи капіталу як колл-опціону; визначити бар’єр дефолту (як правило, поточні зобов’язання + 50% довгострокового боргу).
3Обчисліть відстань до замовчування: DD = (V − D) / (σ_V × V), де D – бар’єр за замовчуванням.
4Перетворіть DD у PD за допомогою нормального розподілу: PD = N(−DD) для вимірювання, нейтрального щодо ризику, або використовуйте емпіричне відображення (як це робить Moody's KMV) для реального PD.
5Для CDS/PD на основі спреду: отримати ринковий кредитний спред, припустити LGD (зазвичай 40–60%); розрахувати рівень небезпеки λ = CS / LGD; обчислити PD(T) = 1 − e^(−λT).
6Для PD на основі рейтингу: знайдіть історичну середню сукупну ставку дефолту для кредитного рейтингу емітента в щорічних дослідженнях S&P або Moody's.
7Перевірте оцінку PD порівняно з ринковими цінами, рейтингами рейтингових агентств і аналогічними компаніями. Агрегований очікуваний збиток портфеля: EL = Σ PD_i × LGD_i × EAD_i.

Розв'язані приклади

▾

Приклад 1Модель Мертона для компанії з фінансовим кредитом

Дано:Вартість активів = 100 мільйонів доларів США, обсяг активів = 25%, стандартний бар’єр = 70 мільйонів доларів США, безризикова ставка = 5%, T = 1 рік

Результат:d2=1,41 | PD (нейтральний до ризику)=7,9% | Відстань до замовчування=1,41σ

Компанія на 1,41 стандартного відхилення вище дефолту — помірний кредитний ризик

d2 = [ln(100/70) + (0,05 − 0,25²/2)×1] / (0,25×√1) = [0,357 + 0,019] / 0,25 = 1,505. PD = N(−1,505) ≈ 6,6%. Відстань до стандартного значення DD = (100 − 70) / (0,25 × 100) = 1,20 стандартних відхилень. Moody's KMV зіставляє це з емпіричним EDF зі своєї історичної бази даних. 1,2 DD відповідає приблизно 8–12% емпіричній ймовірності дефолту протягом 1 року. Якщо ринки акцій розпродаються, а волатильність активів зростає до 35%, DD падає до 0,86, а PD стрибає до 19%, що демонструє, як умови ринку акцій безпосередньо впливають на кредитний ризик.

Приклад 2CDS-Implied PD від кредитного спреду

Дано:5-річний спред CDS=300 базисних пунктів, LGD=60%

Результат:Показник небезпеки=5,0%/рік | 1-річний PD=4,88% | 5-річний кумулятивний PD=22,1%

Ринок CDS передбачає 22% ймовірність дефолту протягом 5 років

Рівень ризику λ = CS / LGD = 300 bps / 60% = 500 bps = 5,0% на рік. 1-річний PD = 1 − e^(−0,05×1) = 4,88%. 5-річний PD = 1 − e^(−0,05×5) = 1 − e^(−0,25) = 22,1%. Цей PD, пов’язаний із CDS, є нейтральною щодо ризику ймовірністю (включає премію за ризик), тому PD у реальному світі буде трохи нижчим. Спред CDS у 300 базисних пунктів відповідає кредитному рейтингу BB, де історичні 5-річні кумулятивні ставки дефолту в середньому становлять приблизно 10–15% — ринок CDS передбачає дещо вищу ставку, що відображає премію за ринковий ризик і премію за ліквідність.

Приклад 3Історичний PD на основі рейтингу

Дано:Рейтинг емітента: BB, горизонт 3 роки

Результат:3-річний сукупний PD≈8,2% (середнє річне дослідження S&P 2023 1981–2022)

На основі 40+ років історичних даних S&P за замовчуванням за рейтингом

Відповідно до Щорічного глобального корпоративного дефолту та рейтингового дослідження S&P за 2023 рік, середній 3-річний сукупний рівень дефолту для емітентів з рейтингом BB з 1981 по 2022 рік становить приблизно 8,2%. Річні ставки дефолту: BB Рік 1≈0,84%, Рік 2≈1,65% граничний, Рік 3≈1,72% граничний. Сукупні трирічні ставки дефолту інвестиційного рівня значно нижчі: AAA≈0,01%, AA≈0,05%, A≈0,13%, BBB≈0,55%. Ці емпіричні ставки є реальними PD (не залежать від ризику) і використовуються безпосередньо в розрахунках очікуваних збитків Basel IRB для кредитних портфелів.

Приклад 4Модель кредитної оцінки логістичної регресії

Дано:Позичальник: борг/EBITDA=5,0x, покриття відсотків=1,8x, поточний коефіцієнт=0,9, норма прибутку=4%

Результат:Кредитний рейтинг=58/100 (нижче 60=підвищений ризик) | Модель PD≈12,5%

Кілька фінансових коефіцієнтів, об’єднаних у логістичну регресію, передбачають PD

У моделі логістичної регресії кожен фінансовий коефіцієнт має коефіцієнт, розрахований на основі історичних даних за замовчуванням: борг/EBITDA (5,0x — високе кредитне плече збільшує ризик), покриття відсотків (1,8x — низьке покриття значно збільшує PD), поточний коефіцієнт (0,9 — нижче 1,0 = від’ємний оборотний капітал додає ризик) і маржа прибутку (4% — низька маржа створює невеликий буфер). Об’єднані логарифмічні коефіцієнти дають PD приблизно 12,5% — територія підвищеного спекулятивного рівня. Цей позичальник отримає внутрішній рейтинг B або B−, вимагаючи ціноутворення на рівні приблизно LIBOR/SOFR + 400–500 базисних пунктів і жорсткого захисту ковенантів.

Практичне застосування

▾

🏗️

Схвалення та ціноутворення банківського кредиту (RAROC), що дозволяє практикам приймати обґрунтовані кількісні рішення на основі підтверджених обчислювальних методів і галузевих стандартних підходів, що вимагає точного кількісного аналізу для підтримки рішень на основі фактичних даних, стратегічного розподілу ресурсів і оптимізації ефективності в різних організаційних контекстах і професійних дисциплінах.

🔬

Розрахунок капіталу IRB за Базель II/III для кредитних портфелів, що допомагає аналітикам отримати точні результати, які підтримують стратегічне планування, розподіл ресурсів і порівняльний аналіз ефективності між організаціями, де точні числові обчислення є важливими для отримання надійних результатів, які інформують про процеси планування, оцінки та постійного вдосконалення як у корпоративних, так і в індивідуальних умовах.

📊

МСФЗ 9 / CECL очікуване резервування кредитних збитків, що дозволяє фахівцям систематично оцінювати результати та порівнювати сценарії, використовуючи надійні математичні основи та встановлені формули, вимагаючи систематичних підходів до розрахунку, які перетворюють необроблені вхідні дані в практичні ідеї для зацікавлених сторін, які залежать від кількісної точності у своїй щоденній професійній діяльності

🏥

Ціноутворення та торгівля кредитними дефолтними свопами, підтримка процесів оцінки на основі даних, де чисельна точність є важливою для цілей відповідності, звітності та оптимізації, що вимагає надійних обчислювальних методів, які забезпечують послідовні та перевірені результати, придатні для звітності, аудиту та аналізу довгострокових тенденцій у професійному середовищі

⚙️

Моніторинг кредитного ризику портфеля облігацій і нагляд за рейтингами, що вимагає точного кількісного аналізу для підтримки рішень, заснованих на фактах, стратегічного розподілу ресурсів і оптимізації ефективності в різних організаційних контекстах і професійних дисциплінах

Особливі випадки

▾

На практиці цей граничний випадок вимагає ретельного розгляду, оскільки стандартні припущення можуть не виконуватися. Зустрічаючись із цим сценарієм під час розрахунків калькулятора ймовірності дефолту, спеціалісти-практики повинні перевірити граничні умови, перевірити наявність ризиків ділення на нуль і розглянути, чи залишаються припущення моделі дійсними за цих екстремальних умов.

Професіонали, які працюють з PD кредитного ризику, повинні бути особливо уважними до цього сценарію, оскільки він може призвести до оманливих результатів, якщо не поводитися належним чином. Завжди перевіряйте граничні умови та перехресну перевірку незалежними методами, коли такий випадок виникає на практиці.

S&P Середня ставка дефолту за 1 рік за рейтингом (1981–2022)

▾

Рейтинг	1-річний PD	3-річний PD	5-річний PD	опис
AAA	0,00%	0,01%	0,04%	Найвищий інвестиційний клас
AA	0,02%	0,06%	0,12%	Дуже якісний
A	0,06%	0,18%	0,37%	Висока якість
BBB	0,16%	0,55%	1,10%	Відсікання інвестиційного рівня
BB	0,84%	3,41%	7,18%	Найвищий спекулятивний сорт
B	3,44%	10,50%	18,90%	Спекулятивний
CCC/C	26,78%	42,60%	52,20%	Дуже спекулятивний / засмучений

Часті запитання

▾

Яка різниця між нейтральним щодо ризику ПД і реальним ПД?

Нейтральний щодо ризику PD розраховується на основі ринкових цін (спред CDS, прибутковість облігацій) і включає премію за ризик на додаток до чистої ймовірності дефолту — інвестори вимагають додаткової компенсації за ризик утримання дефолту. Реальний (фізичний) PD – це фактична історична частота дефолтів для даної категорії ризику, яка зазвичай оцінюється на основі даних рейтингових агентств або внутрішніх банківських даних про ефективність кредитів. Нейтральна до ризику PD використовується для ціноутворення похідних інструментів (CDS, кредитні похідні) і має відповідати ринковим цінам. PD у реальному світі використовується для розрахунку очікуваних збитків за Базельським стандартом, резервування кредитів та управління ризиками. Нейтральний щодо ризику PD зазвичай у 1,5–3 рази вищий, ніж реальний PD для емітентів інвестиційного рівня, що відображає премію за кредитний ризик.

Які підходи Базеля II/III для оцінки PD?

Відповідно до системи капіталу для кредитного ризику Базель II/III банки можуть використовувати: (1) стандартизований підхід — ваги ризику, встановлені регуляторами на основі зовнішніх кредитних рейтингів, без внутрішніх оцінок PD; (2) Основний IRB (FIRB) — банки оцінюють PD внутрішньо, але використовують наглядові LGD та EAD; (3) Розширений IRB (AIRB) — банки оцінюють PD, LGD і EAD за допомогою власних внутрішніх моделей, відповідно до мінімальних вимог до даних і нормативної перевірки. AIRB забезпечує найнижчі витрати на капітал для високоякісних кредитних портфелів, але вимагає багаторічної обробки даних за замовчуванням, ретельної перевірки моделі та постійного моніторингу ефективності моделі. Більшість великих міжнародних банків використовують AIRB для своїх основних портфелів.

Які фінансові коефіцієнти найкраще прогнозують корпоративний дефолт?

Z-показник Альтмана (1968) визначив п’ять ключових предикторів корпоративного банкрутства на основі дискримінантного аналізу: оборотний капітал/загальні активи, нерозподілений прибуток/загальні активи, EBIT/загальні активи, ринкова вартість власного капіталу/балансова вартість загальних зобов’язань і продажі/загальні активи. Відтоді дослідження підтвердили, що найпотужніші індивідуальні прогнози включають: кредитне плече (борг/EBITDA, борг/активи), покриття (EBIT/відсотки, EBITDA/відсотки), ліквідність (поточний коефіцієнт, швидкий коефіцієнт), прибутковість (ROA, норма прибутку) і розмір (більші компанії мають нижчі ставки дефолту за того самого рівня левериджу). Сучасні моделі машинного навчання використовують сотні фінансових і нефінансових функцій.

Як коефіцієнт одужання пов’язаний з PD?

Коефіцієнт відшкодування (R) = 1 − LGD (збиток у разі дефолту). Коефіцієнт відшкодування – це частка ризику, відновленого після дефолту через процедури банкрутства, продажу активів або реструктуризації. Історичні показники відшкодування для незабезпечених корпоративних облігацій становлять у середньому приблизно 40% (LGD=60%), але значно відрізняються залежно від стажу: першорядні забезпечені облігації відшкодовуються на 60–80%; старший незабезпечений 35–55%; субординовані облігації 10–30%; капітал близько нуля. Швидкість відновлення негативно корелює з PD — у системних спадах, коли відсотки дефолту різко зростають, показники відновлення одночасно знижуються (проциклічність), посилюючи кредитні збитки понад те, що могли б припустити незалежні оцінки PD і LGD.

Яка різниця між PD «протягом циклу» та «на момент часу»?

PD через цикл (TTC) оцінює середню ймовірність дефолту протягом повного економічного циклу, згладжуючи циклічні коливання. Рейтингові агентства використовують рейтинги TTC — рейтинг BBB має відображати подібний ризик дефолту протягом усього циклу. PD на певний момент часу (PIT) відображає поточні економічні умови та рухається відповідно до бізнес-циклу: PD PIT різко зростає під час рецесії та стискається в періоди піднесення. Базель вимагає, щоб банки використовували TTC PD для розрахунків мінімального капіталу (щоб уникнути проциклічного збільшення капіталу), але PIT PD для МСФЗ 9/CECL передбачає резервування кредитних збитків (що вимагає перспективної оцінки поточного стану). Розрізнення PIT і TTC є джерелом значної практичної складності в управлінні кредитним ризиком.

Як PD використовується у ціноутворенні кредиту?

При ціноутворенні позики використовується система рентабельності капіталу з поправкою на ризик (RAROC): нарахований кредитний спред повинен відшкодовувати очікувані збитки (EL = PD × LGD) і генерувати адекватну рентабельність регулятивного капіталу. Мінімальний кредитний спред = (EL + вартість капіталу × необхідний капітал) / сума позики. Для кредиту на 1 рік: якщо PD = 2%, LGD = 50%, EL = 1,0%. Якщо необхідний капітал = 8% позики, при 15% необхідному прибутку: вартість капіталу = 8% × 15% = 1,2%. Мінімальний спред = 1,0% + 1,2% = 2,2% (220 біт/с). Ця структура RAROC гарантує, що позики надаються лише тоді, коли спред покриває очікувані збитки та забезпечує достатній прибуток від капіталу.

Чи може машинне навчання покращити прогнозування PD порівняно з традиційними моделями?

Моделі машинного навчання — посилення градієнта (XGBoost), випадкові ліси, нейронні мережі — часто досягають вищої точності прогнозування (як вимірюється коефіцієнтом AUC/Джіні), ніж логістична регресія для прогнозування PD, особливо з великими наборами даних, що містять багато нелінійних взаємодій між функціями. Однак вони стикаються з проблемами кредитного ризику: нормативні вимоги щодо пояснення (посібники SR 11-7 вимагають від банків розуміти та пояснювати результати моделі), модель управління та ризик надмірного пристосування до історичних моделей, які можуть не зберігатися. Гібридні підходи — використання ML для розробки функцій і вибору змінних із логістичною регресією для кінцевої моделі — поширені в регульованих банківських середовищах.

Поширені помилки

▾

!Плутати нейтральний до ризику PD (від CDS) з реальним PD — вони відрізняються премією за кредитний ризик і не повинні змішуватися в розрахунках.
!Використання PD на певний момент часу для розрахунків капіталу за Базельським стандартом (потрібно використовувати весь цикл) або TTC PD для резервування за МСФЗ 9 (потрібно використовувати PIT).
!Ігноруючи кореляцію між PD і LGD — під час спаду обидва погіршуються одночасно, збільшуючи фактичні кредитні втрати за межі EL = PD × LGD.
!Застосування корпоративних ставок дефолту до роздрібних/споживчих кредитів без коригування принципово різних чинників ризику.
!Екстраполяція PD з коротким горизонтом до довгострокових без урахування міграції рейтингів з часом.

💡

Порада профі

Завжди перевіряйте свою модель PD за допомогою коефіцієнта Джині/AUC (дискримінація — класифікація позичальників від найкращого до найгіршого ризику) і калібрувальних тестів (чи прогнозовані PD близькі до спостережуваних ставок дефолту?). Модель, яка має гарний рейтинг, але погано відкалібрована, все одно може створювати недостатні резерви.

⭐

Чи знаєте ви?

Ключове розуміння моделі Мертона — трактування капіталу фірми як опціону на її активи — було опубліковано в 1974 році, лише через рік після формули ціни опціону Блека-Шоулза. Роберт Мертон отримав Нобелівську премію з економіки в 1997 році (разом з Майроном Шоулзом) головним чином за цю роботу, яка об’єднала теорію ціноутворення опціонів і кредитний ризик в одній елегантній структурі.

Regional Guides

▾

🇺🇸 US▾

Використовує звичайні одиниці та стандарти США, де це можливо

🇬🇧 UK▾

Може знадобитися конвертація в метричні одиниці або британські стандарти

🇪🇺 EU▾

Дотримується конвенцій ЄС та одиниць SI, де це можливо

Джерела

📖Складність:Просунутий

Лише для інформаційних цілей. Цей інструмент не є фінансовою рекомендацією. Проконсультуйтеся з кваліфікованим фінансовим консультантом перед прийняттям інвестиційних або фінансових рішень.

Formula-verified for precision

Reviewed October 2026

Our methodology

Отримуйте щотижневі поради з математики

Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.

🔒

100% Безкоштовно

Без реєстрації

✓

Точно

Перевірені формули

⚡

Миттєво

Результати при введенні

📱

Мобільний

Всі пристрої