Що таке Ruin Probability Calculator?
▾
Ймовірність розорення (також називається ймовірністю розорення, розорення гравця або ризиком розорення) — це ймовірність того, що гравець, трейдер або бізнес вичерпає весь свій капітал до того, як досягне визначеної цілі багатства. Це основоположна концепція в теорії ймовірностей, актуарній науці та управлінні торговельними ризиками, яка відповідає на запитання: яка ймовірність збанкрутувати до досягнення мети, враховуючи початковий капітал, перевагу за ставку чи угоду та цільовий рівень багатства? Класична проблема розорення гравця, формалізована математиками, зокрема Блезом Паскалем і Крістіаном Гюйгенсом у 17 столітті, розглядає гравця зі стартовим капіталом $k, який грає в гру проти суперника з капіталом $N−k (загальні ставки за столом = $N). З ймовірністю p виграшу кожної ставки (і q=1−p програшу) ймовірність розорення (втрата всіх $k до досягнення $N) має елегантне закрите рішення. Коли p = q = 0,5 (чесна гра), ймовірність руйнування = (N−k)/N. Для несприятливої гри (q > p) крах майже безсумнівний для великого N. У трейдингу ймовірність розорення зазвичай розраховується як ймовірність втрати всього капіталу до досягнення кратного стартового капіталу. Використовуючи безперервне наближення: P(руїна) = e^(−2× Edge × Capital / Variance), де Edge = середній прибуток на угоду (або період), Capital = початковий капітал і Variance = дисперсія прибутків на угоду. Ця формула показує, що ймовірність краху експоненціально зменшується з: (1) більшим стартовим капіталом відносно розміру ставки; (2) вищий край; і (3) менша дисперсія. Ось чому правило 1% у торгівлі — ризик лише 1% капіталу на угоду — значно знижує ймовірність краху порівняно з 5% або 10% ризиком на угоду. У страховій та актуарній науці теорія розорення (модель Крамера-Лундберга) вивчає, чи стане надлишок (резервний капітал) страховика коли-небудь від'ємним, враховуючи преміальний дохід, прибутки від інвестицій і випадкові виплати вимог. Нерівність Крамера-Лундберга визначає верхню межу ймовірності краху страхових портфелів. Аналіз ймовірності краху також використовується в бізнес-фінансах, щоб оцінити, як довго стартап або бізнес може проіснувати на поточному балансі готівки, враховуючи швидкість спалювання та траєкторію доходів, і в особистих фінансах, щоб оцінити ймовірність того, що пенсіонер вичерпає свій портфель перед смертю за різних сценаріїв витрат і повернення.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Формула
▾
Дискретний (p ≠ 0,5): P(руйнування) = [(q/p)^N − (q/p)^k] / [(q/p)^N − 1]
Чесна гра (p=0,5): P(руїна) = 1 − k/N
Безперервне приблизно: P(руйнування) = exp(−2 × μ × k / σ²)Опис змінних
▾
| Символ | Ім'я | Одиниця | Опис |
|---|---|---|---|
| k | Стартовий капітал | USD | Початкове багатство або банкролл; вимірюється в одиницях розміру ставки для дискретної формули розорення гравця. |
| p | Імовірність виграшу | % | Імовірність виграшу кожної ставки або торгівлі; якщо p > 0,5 (або p > поріг беззбитковості), існує позитивний край. |
| N | Цільовий капітал | USD | Мета багатства; у класичному розгромі гравця — ставка столу (точка, на якій натомість знищується опонент). |
| P_ruin | Ймовірність розорення | % | Імовірність втрати всього капіталу до досягнення цілі N. Наближається до 1,0 для несприятливих ігор (p < 0,5). |
| E_dur | Очікувана тривалість | bets/trades | Очікувана кількість ставок/угод до знищення або досягнення цілі N; відображає тривалість гри. |
Як Ruin Probability Calculator
▾
- 1Визначте початковий капітал k (в одиницях мінімальної ставки або торгового ризику), цільовий капітал N і суму ставки/ризику на гру.
- 2Перевага оцінки (p = ймовірність виграшу кожної ставки). Для торгівлі використовуйте коефіцієнт виграшу, скоригований на співвідношення розміру виграшу/програшу.
- 3Застосуйте відповідну формулу руйнування: дискретне руйнування гравця для бінарних ставок; безперервне наближення для торгівлі зі змінною прибутковістю.
- 4Для торгівлі: P(руйнування) = exp(−2 × середній_прибуток × стартовий_капітал / variance_per_trade).
- 5Проаналізуйте чутливість: як зміниться ймовірність розорення, якщо стартовий капітал подвоїться? Якщо край навпіл? Якщо дисперсія збільшується?
- 6Обчисліть очікувану тривалість (скільки раундів до визначення результату): E = k × (N−k) / |2p−1| × 1/(p−0,5) для p≠0,5.
- 7Використовуйте ймовірність краху, щоб установити мінімальні вимоги до капіталу, максимальні розміри ставок і відповідний відсоток ризику на угоду.
Розв'язані приклади
▾
Навіть маючи «лише» 2,63% переваги будинку, на цьому рівні крах майже впевнений
q/p = (1−0,4737)/0,4737 = 0,5263/0,4737 = 1,1111. P(руйнування) = [(1,1111)^200 − (1,1111)^100] / [(1,1111)^200 − 1]. Член (1,1111)^200 є астрономічно великим, домінуючим у чисельнику та знаменнику: P(руйнування) ≈ 1 − (1,1111)^(−100) = 1 − e^(−100 × ln1,1111) ≈ 1 − e^(−10,54) ≈ 88,6%. Подвоїти 100 доларів у рулетку ви маєте лише 11,4% шансів. Це ілюструє, чому казино виграють: невелика перевага в домі, складена за багатьма ставками, створює майже певну крах для гравця.
Позитивний край із контрольованим розміром = дуже низька ймовірність руйнування
За угоду: очікуваний прибуток = 0,55 × 300 доларів США − 0,45 × 200 доларів США = 165 доларів США − 90 доларів США = 75 доларів США (зверніть увагу на виплату: прибуток від виграшу 1,5 × 200 доларів США = 300 доларів США). Середнє значення = 75 доларів США, дисперсія = E[X²] − E[X]² = (0,55 × 300 доларів США² + 0,45 × 200 доларів США²) − 75² доларів США = (49 500 + 18 000) − 5 625 = 61 875 доларів США. P(руйнування) ≈ exp(−2 × $75 × $10 000 / $61 875) = exp(−24,24) ≈ 0,0000000036 — фактично нуль! Навіть маючи лише 2% ризику на угоду та скромну перевагу, ймовірність краху є незначною. Порівняйте з ризиком 10% за угоду ($1000): P(руйнування) ≈ exp(−2 × $75 × $10 000 / $61 875), де капітал тепер становить лише 10 одиниць: exp(−2×75×10/61875) — все ще незначний, оскільки ми правильно масштабували.
Тут крах стартапу є детермінованим — потрібне зростання доходів або нове фінансування
Чисте спалювання = 50 000 доларів США на місяць. Runway = $500 000 / $50 000 = 10 місяців — у стартапу закінчуються гроші за 10 місяців без змін. Щоб витримати 18 місяців до цільового збору коштів серії A (N=18 місяців готівки при початковій швидкості витрачання = необхідні $900 000), стартапу потрібно або 80% зростання доходу, щоб скоротити чисті витрати до $0, або додаткове фінансування. Це ілюструє, чому інвестори дуже піклуються про швидкість згоряння стартапів і злітну смугу: крах (виведення готівки перед наступним фінансуванням) — це буквально кінець компанії.
20% безпечне навантаження з надлишком у 1 мільйон доларів створює майже нульову ймовірність руйнування
Згідно з моделлю Крамера-Лундберга, верхня межа ймовірності руйнування становить P(руйнування|надлишок=u) ≤ e^(−Ru), де R є коригуючим коефіцієнтом (позитивний корінь рівняння Лундберга). З 20% навантаженням на безпеку та експоненціальними претензіями із середнім 10 000 доларів США: R = θ/(μ(1+θ)) = 0,20/(10 000×1,20) ≈ 1,67×10⁻⁵. P(руйнування) ≤ e^(−1,67×10⁻⁵×1 000 000) = e^(−16,7) ≈ 5,6×10⁻⁸ — фактично нуль. Це підтверджує, що адекватне навантаження надлишку та премії створює майже ідеальну фінансову стабільність для страхової компанії за типових припущень щодо вимог.
Практичне застосування
▾
Управління ризиками торгової системи та вимоги до мінімального капіталу, що представляє важливу область застосування для Ruin Probability у професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ймовірності краху безпосередньо підтримують обґрунтоване прийняття рішень, стратегічне планування та оптимізацію ефективності
Аналіз початкової злітно-посадкової смуги та планування основних етапів фінансування, що представляє важливу область застосування для Ruin Probability у професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ймовірності руйнування безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності
Регулювання достатності та платоспроможності надлишку страхових компаній, що представляє важливу область застосування ймовірності розорення в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ймовірності розорення безпосередньо підтримують прийняття обґрунтованих рішень, стратегічне планування та оптимізацію ефективності
Імовірність вичерпання пенсійного портфеля (ризик послідовності повернення), що представляє важливу область застосування ймовірності розорення в професійному та аналітичному контексті, де точні розрахунки ймовірності розорення безпосередньо сприяють прийняттю обґрунтованих рішень, стратегічному плануванню та оптимізації ефективності
Професіонали галузі покладаються на ймовірність краху для оперативного розрахунку ймовірності краху, результатів роботи клієнтів, звітності про відповідність нормативним вимогам і стратегічного планування в бізнес-контекстах, де точність ймовірності краху безпосередньо впливає на фінансові результати та ефективність організації
Особливі випадки
▾
{'case': 'Стратегія Мартингейла', 'explanation': 'Ставки на Мартингейл (подвоєння після кожного програшу) теоретично мають нульову ймовірність краху (враховуючи нескінченний капітал), але майже певний крах на практиці через обмеження кінцевої таблиці та капітал. Для серії лише 10 програшів потрібно 2^10 = 1024× початкової ставки — це швидко перевищує будь-яку реалістичну базу капіталу.'}
{'case': 'Руїна нескінченного горизонту', 'пояснення': 'Для несприятливої гри (негативний край) ймовірність руйнування протягом нескінченного горизонту часу дорівнює рівно 1,0 — певна руйнація. Для сприятливої гри ймовірність руйнування нескінченного горизонту дорівнює нулю для фіксованих дробових ставок (безперервний випадок). Для фіксованого розміру ставки, навіть із позитивним перевагою, ймовірність руйнування нескінченного горизонту є позитивною для дискретного випадкового блукання з ненульовим шансом негайного руйнування.'}
Коли вхідні значення ймовірності руїни наближаються до нуля або стають від’ємними в Руїні
Коли вхідні значення ймовірності руйнування наближаються до нуля або стають від’ємними у ймовірності руйнування, математична поведінка суттєво змінюється. Нульові значення можуть спричинити помилки ділення на нуль або тривіально нульові результати, тоді як негативні вхідні дані можуть дати математично дійсні, але практично безглузді результати в контексті ймовірності руйнування. Професійні користувачі повинні підтвердити, що всі вхідні дані належать до фізично чи фінансово значущих діапазонів перед інтерпретацією результатів. Від'ємні або нульові значення часто вказують на помилки при введенні даних або обставини виняткової ймовірності руйнування, які вимагають окремої аналітичної обробки.
Імовірність розорення за рахунок стартового капіталу (одиниці ставки) і переваги
▾
| Капітал (од.) | край = 0% | Край=1% | край = 3% | край = 5% | Грань=10% |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 одиниць | 100% | 82% | 55% | 37% | 14% |
| 20 одиниць | 100% | 67% | 30% | 14% | 2% |
| 50 одиниць | 100% | 37% | 5% | 0,7% | 0,006% |
| 100 одиниць | 100% | 14% | 0,25% | 0,05% | ~0% |
| 200 одиниць | 100% | 2% | ~0% | ~0% | ~0% |
| 500 одиниць | 100% | <0,1% | ~0% | ~0% | ~0% |
Часті запитання
▾
У чому полягає проблема розорення гравця?
Класична проблема розорення гравця: гравець із $k доларів веде чесну гру проти нескінченно багатого суперника, роблячи ставку по $1 за раунд. Ймовірність втратити всі $k до того, як опонент буде знищений (що у випадку нескінченного супротивника означає ймовірність остаточного знищення) дорівнює 1,0 — вірна загибель. Проти обмеженого суперника із загальним капіталом $N (гравець має $k, опонент має $N−k), ймовірність краху становить 1−k/N для чесної гри. Цей результат має глибокі наслідки: навіть з нульовою перевагою будинку, гравець з меншим капіталом, ніж «будинок», зрештою втратить усі свої гроші. Це математично пояснює, чому будинок завжди виграє — він має більше капіталу і може пережити будь-якого окремого гравця.
Як розмір ставки впливає на ймовірність краху?
Розмір ставки сильно впливає на ймовірність краху. Для фіксованого стартового капіталу та позитивної переваги ймовірність краху становить приблизно P(рух) ≈ e^(−2×едж×capital_in_units_of_bet). Подвоєння початкового капіталу (або, що еквівалентно, зменшення розміру ставки вдвічі) зводить до квадрата ймовірність краху: якщо P(руйнування) становило 10%, воно стає 1% (приблизно). Ця експоненціальна чутливість до співвідношення розміру ставки/капіталу є математичною основою правила ризику 1% у торгівлі. Ризик 1% за угоду означає 100 одиниць капіталу; ймовірність руйнування ≈ e^(−200×edge) — з будь-яким додатним краєм це фактично дорівнює нулю. Ризик 10% за угоду означає лише 10 одиниць; ймовірність руйнування ≈ e^(−20×edge) — значно вище.
Чи може ймовірність розорення дорівнювати нулю?
Теоретично, для початкової точки нескінченного капіталу або гри, де ви ніколи не можете втратити всі свої гроші (фіксовані дробові ставки, які гарантують, що ставка зменшується до нуля, коли багатство наближається до нуля), ймовірність розорення може наближатися до нуля. У безперервному наближенні для фіксованої дробової торгівлі ймовірність краху технічно дорівнює нулю, оскільки розміри ставок зменшуються пропорційно з рахунком — вартість облікового запису може асимптотично наближатися до нуля, але насправді ніколи його не досягне. На практиці мінімальний розмір позиції, транзакційні витрати та окремі структури ставок означають, що деяка позитивна ймовірність краху завжди існує, навіть для стратегій позитивного краю. Практична мета полягає в тому, щоб зменшити ймовірність руйнування до прийнятно низьких рівнів (< 1%), а не усунути її.
Який зв’язок між ймовірністю руйнування та критерієм Келлі?
Критерій Келлі та ймовірність краху глибоко пов’язані: частка Келлі — це саме той розмір ставки, який мінімізує швидкість зменшення ймовірності краху в міру зростання капіталу. У частці Келлі геометричний темп зростання капіталу максимізується, тобто багатство зростає найшвидше до будь-якої цілі, водночас мінімізуючи ймовірність розорення. Перевищення ставок (вище Келлі) різко збільшує ймовірність краху — при 2× Келлі крах стає певним у довгостроковій перспективі. Занижена ставка (дробовий Келлі) зменшує ймовірність краху нижче рівня Келлі, але ціною повільнішого зростання капіталу. Критерій Келлі можна отримати шляхом мінімізації ймовірності розорення за умови максимізації довгострокового зростання.
Як імовірність розорення використовується при плануванні виходу на пенсію?
У плануванні особистих фінансів і виходу на пенсію ймовірність розорення перефразовано як «ймовірність виснаження портфеля»: ймовірність того, що портфель пенсіонера впаде до нуля перед його смертю. Це оцінюється за допомогою моделювання за методом Монте-Карло: створіть тисячі сценаріїв повернення інвестицій, інфляції та витрат, а також підрахуйте частку, у якій портфель вичерпано. «Правило 4%» (знімання 4% початкового портфеля щорічно з поправкою на інфляцію) випливає з історичного моделювання (Bengen 1994, Trinity Study 1998) і показує приблизно 95% успіху (5% ймовірності краху) протягом 30-річного періоду виходу на пенсію для портфеля акцій/облігацій 60/40.
Які фактори найбільше впливають на ймовірність розорення?
У порядку зменшення впливу: (1) розмір ставки як частка капіталу — єдина найпотужніша змінна; зменшення розміру ставки вдвічі значно зменшує розорення; (2) Край — позитивний фронт необхідний для ймовірності краху нижче 50%; нульовий або негативний край завжди призводить до ймовірності краху, що наближається до 1; (3) Дисперсія результатів — більша дисперсія збільшує ймовірність руйнування навіть на тому самому краю (відображає формулу Келлі: ризик руйнування ∝ 1/грань × дисперсія); (4) Початковий капітал в одиницях розміру ставки — більше одиниць капіталу означає менший розорення; (5) Цільовий капітал — більший необхідний прибуток (вищий N) збільшує ймовірність розорення. Практичний висновок: тримайте розмір ставки невеликим, майте позитивну перевагу та починайте з достатнього капіталу.
Як імовірність розорення стосується платоспроможності бізнесу?
У бізнес-контексті ймовірність краху — це ймовірність неплатоспроможності — від'ємний капітал або нездатність виконати зобов'язання. Для підприємств «ставка» — це грошовий потік кожного операційного періоду, який має очікувану вартість (операційний прибуток) і відхилення (мінливість грошового потоку). Стартовий капітал - це резервний капітал і кредитна лінія. Ціль — дожити до прибутковості або наступного раунду фінансування. При стабільному позитивному грошовому потоці (позитивний край, низька дисперсія) ймовірність розорення низька. Для циклічних підприємств дисперсія грошових потоків висока, що вимагає більших резервів капіталу. Ось чому банки вимагають мінімальних коефіцієнтів капіталу — вони неявно встановлюють максимальну ймовірність краху, прийнятну для регульованої фінансової установи.
Поширені помилки
▾
- !Ігнорування того, що навіть невелика позитивна перевага не гарантує виживання без достатнього початкового капіталу відносно розміру ставки.
- !Використання детермінованих розрахунків злітно-посадкової смуги (наприклад, місяців готівки при поточному споживанні) без урахування невизначеності доходу/витрат.
- !Припускати, що попередня смуга програшів «вичерпала» невдачу, а наступна торгівля, швидше за все, буде виграшною — це помилка гравця.
- !Розглядати ймовірність краху як одноразовий розрахунок, а не динамічно оновлювати його в міру зміни капіталу, параметрів стратегії та ринкових умов.
- !Плутання ймовірності руйнування з очікуваною втратою — ймовірність руйнування вимірює виживання, а не середню величину втрати.
Порада профі
Виконайте моделювання за методом Монте-Карло 10 000 шляхів вашої торгової системи протягом 252 торгових днів. Побудуйте графік розподілу значень термінального облікового запису та визначте частку шляхів, що закінчуються нижче вашого порогу «руйнування». Ця емпірична ймовірність краху точніша, ніж аналітичні формули для реальних торгових систем із ненормальним розподілом прибутку.
Чи знаєте ви?
Проблема розорення гравця була вперше офіційно поставлена Блезом Паскалем (відомим у «Трикутнику Паскаля») та Крістіаном Гюйгенсом у їхньому листуванні про теорію ймовірностей у 17 столітті. Гюйгенс опублікував розв’язок у 1657 році в «De Ratiociniis in Ludo Aleae» (Про міркування в азартних іграх), що зробило це однією з перших проблем із ймовірністю, яка має повне математичне розв’язання. Ця ж математика тепер лежить в основі сучасного регулювання страхування, лімітів торгових ризиків і аналізу стартапів.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Джерела
- ›Феллер, В.: Вступ до теорії ймовірностей та її застосування, том. 1 (Wiley, 1968)
- ›Asmussen & Albrecher: Ruin Probabilities (2nd ed.), World Scientific
- ›Бенген, В. (1994): Визначення рівня зняття з використанням історичних даних, Журнал фінансового планування
- ›Investopedia: Визначення розорення гравця
Read the full guide on how to use this calculator effectively
Читати далі →Отримуйте щотижневі поради з математики
Приєднуйтеся до 12 000+ підписників, які щотижня отримують поради щодо калькулятора.