Лінійні рівняння є основою алгебри та з’являються в математиці, науці, інженерії та щоденному розв’язанні проблем. Навчившись систематично розв’язувати лінійні рівняння, ви отримаєте навички вирішення складніших математичних завдань і практичних застосувань.
Що таке лінійне рівняння?
Лінійне рівняння містить змінні лише в першому ступені. Стандартна форма: ax + b = c, де a, b і c — числа, а x — змінна, яку ви розв’язуєте.
Examples of linear equations:
2x + 5 = 13
3x - 7 = 8
x + 4 = 10
5x = 20
Базова стратегія вирішення
Мета полягає в тому, щоб виділити змінну (x) на одній стороні рівняння. Використовуйте обернені дії: якщо число додано, відніміть його; якщо помножити, розділити.
Золоте правило: Що б ви не робили з однією стороною рівняння, зробіть те саме з іншою, щоб зберегти баланс.
Покрокові приклади
Приклад 1: просте лінійне рівняння
Problem: 2x + 5 = 13
Step 1: Subtract 5 from both sides
2x + 5 - 5 = 13 - 5
2x = 8
Step 2: Divide both sides by 2
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
Check: 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓
Приклад 2: Рівняння з відніманням
Problem: 3x - 7 = 8
Step 1: Add 7 to both sides
3x - 7 + 7 = 8 + 7
3x = 15
Step 2: Divide both sides by 3
3x ÷ 3 = 15 ÷ 3
x = 5
Check: 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8 ✓
Приклад 3: Змінні з обох сторін
Problem: 5x + 3 = 2x + 12
Step 1: Subtract 2x from both sides
5x - 2x + 3 = 2x - 2x + 12
3x + 3 = 12
Step 2: Subtract 3 from both sides
3x + 3 - 3 = 12 - 3
3x = 9
Step 3: Divide both sides by 3
x = 3
Check: 5(3) + 3 = 15 + 3 = 18; 2(3) + 12 = 6 + 12 = 18 ✓
Поширені типи лінійних рівнянь
| Форма | приклад | Рішення |
|---|---|---|
| сокира = b | 4x = 20 | х = 5 |
| ax + b = c | 3x + 5 = 14 | х = 3 |
| ax - b = c | 2x - 8 = 6 | х = 7 |
| ax + b = cx + d | 5x + 2 = 2x + 8 | х = 2 |
| a(x + b) = c | 3(x + 2) = 15 | х = 3 |
Рівняння з дробами
Приклад:
Problem: (x + 3)/2 = 5
Step 1: Multiply both sides by 2
2 × (x + 3)/2 = 2 × 5
x + 3 = 10
Step 2: Subtract 3 from both sides
x + 3 - 3 = 10 - 3
x = 7
Рівняння з десятками
Приклад:
Problem: 0.5x + 1.2 = 3.7
Step 1: Subtract 1.2 from both sides
0.5x = 3.7 - 1.2
0.5x = 2.5
Step 2: Divide by 0.5 (or multiply by 2)
x = 2.5 ÷ 0.5
x = 5
Від'ємні числа та знаки
Приклад:
Problem: -3x + 4 = 16
Step 1: Subtract 4 from both sides
-3x = 16 - 4
-3x = 12
Step 2: Divide by -3 (remember: dividing by negative flips nothing for x)
x = 12 ÷ (-3)
x = -4
Check: -3(-4) + 4 = 12 + 4 = 16 ✓
Розподільна властивість
При множенні через дужки розподіліть на кожен член:
a(b + c) = ab + ac
Example: 2(x + 3) = 10
2x + 6 = 10
2x = 4
x = 2
Програми реального світу
Лінійні рівняння розв’язують практичні задачі:
Приклад: розрахунок зарплати
You earn $15 per hour plus a $50 weekly bonus.
If you earn $200 in a week, how many hours did you work?
15h + 50 = 200
15h = 150
h = 10 hours
Приклад: проблема з відстанню
You drive 60 mph. After 2 hours, you're 30 miles behind schedule.
What distance were you supposed to travel?
60(2) = 120 miles traveled
120 + 30 = 150 miles planned
Поради для успіху
- Спочатку спростіть обидві сторони (поєднайте однакові терміни)
- Отримати змінні з одного боку, числа з іншого
- Використовуйте обернені операції в порядку, зворотному до операцій
- Завжди перевіряйте свою відповідь, замінюючи назад
- Будьте обережні з негативними знаками та розподільною властивістю
Немає рішення проти всіх чисел
Деякі рівняння не мають розв’язку (змінна скасовується до хибності), тоді як інші є істинними для всіх значень x.
No solution: 2x + 3 = 2x + 5 (simplifies to 3 = 5, false)
All solutions: 2(x + 1) = 2x + 2 (simplifies to identity)
Використовуйте наш розв’язувач лінійних рівнянь, щоб миттєво розв’язувати рівняння та перевіряти свою роботу.