بنیادی نمبر 1 سے بڑا ایک مکمل نمبر ہے جس کے بالکل دو عوامل ہیں: 1 اور خود۔ پرائم نمبرز تمام انٹیجرز کے بنیادی بلاکس ہیں - ہر پورے نمبر کو پرائمز کی پیداوار کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے۔

پہلے 25 پرائم نمبرز

2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89، 97

نوٹ کریں کہ 2 واحد عدد بنیادی عدد ہے۔ باقی تمام ہموار اعداد 2 سے تقسیم ہوتے ہیں۔

طریقہ 1: ٹرائل ڈویژن

یہ جانچنے کا آسان ترین طریقہ کہ آیا کوئی نمبر پرائم ہے — چیک کریں کہ آیا اس کی مربع جڑ تک کوئی بھی عدد اسے یکساں طور پر تقسیم کرتا ہے۔

اہم بصیرت: اگر n کا فیکٹر √n سے بڑا ہے، تو اس کا ایک متعلقہ فیکٹر بھی √n سے کم ہے۔ لہذا آپ کو صرف √n تک چیک اپ کرنے کی ضرورت ہے۔

الگورتھم:

  1. اگر n <2، پرائم نہیں ہے۔
  2. اگر n = 2، پرائم
  3. اگر n برابر ہے (2 کے علاوہ)، پرائم نہیں۔
  4. 3 سے √n تک تمام طاق اعداد چیک کریں۔
  5. اگر کوئی n کو یکساں طور پر تقسیم کریں، پرائم نہیں۔
  6. دوسری صورت میں، اعظم

مثال: کیا 97 پرائم ہے؟

√97 ≈ 9.85، لہذا 9:2، 3، 5، 7 تک پرائمز چیک کریں

  • 97 ÷ 2 = 48.5 (پورا نہیں)
  • 97 ÷ 3 = 32.33... (پورا نہیں)
  • 97 ÷ 5 = 19.4 (پورا نہیں)
  • 97 ÷ 7 = 13.86 (پورا نہیں)

کوئی تقسیم کار نہیں ملا — 97 بنیادی ہے۔

مثال: کیا 91 پرائم ہے؟

√91 ≈ 9.54، 9: 2، 3، 5، 7 تک چیک کریں

  • 91 ÷ 7 = 13 (پوری تعداد!)

91 پرائم نہیں ہے — 91 = 7 × 13۔

طریقہ 2: Eratosthenes کی چھلنی

Eratosthenes کی چھلنی ایک مقررہ حد تک تمام پرائمز تلاش کرتی ہے۔ یہ تیز اور خوبصورت ہے، جس کی ایجاد یونانی ریاضی دان Eratosthenes نے 240 قبل مسیح میں کی تھی۔

50 تک کے تمام پرائمز تلاش کرنے کے لیے:

  1. نمبر 2 سے 50 تک لکھیں۔
  2. 2 (پہلے پرائم) سے شروع کریں۔ 2 کے تمام ضربوں کو عبور کریں (4، 6، 8...)
  3. اگلے بغیر کراس کیے گئے نمبر پر جائیں: 3. 3 کے ضرب کو عبور کریں (9، 15، 21...)
  4. اگلا بغیر کراس کیا گیا: 5. 5 کے ضرب کو عبور کریں (25، 35...)
  5. اگلا بغیر کراس کیا ہوا: 7. 7 کے ضرب کو عبور کریں (49...)
  6. جب آپ √50 ≈ 7.07 تک پہنچ جائیں تو رک جائیں۔
  7. باقی تمام غیر کراسڈ نمبرز پرائم ہیں۔

50 تک پرائمز: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47

100 تک پرائمز: مکمل فہرست

رینج پرائمز
1-10 2, 3, 5, 7
11-20 11, 13, 17, 19
21–30 23, 29
31–40 31, 37
41–50 41, 43, 47
51-60 53, 59
61-70 61, 67
71-80 71, 73, 79
81-90 83, 89
91-100 97

100 سے نیچے 25 پرائمز ہیں۔

فوری تقسیم کے ٹیسٹ

مکمل تقسیم کرنے سے پہلے، ان اصولوں کو چیک کریں:

قابل تقسیم اگر...
2 آخری ہندسہ برابر ہے (0,2,4,6,8)
3 ہندسوں کا مجموعہ 3 سے قابل تقسیم
5 آخری ہندسہ 0 یا 5 ہے۔
7 کوئی سادہ اصول نہیں - صرف تقسیم کریں۔
11 متبادل ہندسوں کا مجموعہ 11 سے قابل تقسیم

مثال: کیا 143 پرائم ہے؟

  • یہ بھی نہیں ✓
  • 1+4+3 = 8، 3 سے قابل تقسیم نہیں ✓
  • 0 یا 5 ✓ پر ختم نہیں ہوتا ہے۔
  • √143 ≈ 11.96، 11 تک چیک کریں۔
  • 143 ÷ 7 = 20.43 ✓
  • 143 ÷ 11 = 13 — قابل تقسیم!

143 = 11 × 13۔ پرائم نہیں ہے۔

پرائمز کیوں اہمیت رکھتے ہیں۔

کرپٹوگرافی: RSA انکرپشن — انٹرنیٹ بینکنگ، HTTPS اور ای میل کو محفوظ بنانے کے لیے استعمال کیا جاتا ہے — اس حقیقت پر انحصار کرتا ہے کہ دو بڑے پرائمز کو ضرب کرنا آسان ہے، لیکن نتیجہ کو پرائمز میں واپس بنانا انتہائی مشکل ہے۔

کمپیوٹر سائنس: ہیش ٹیبلز، رینڈم نمبر جنریٹر، اور چیکسم پرائم نمبرز کی خصوصیات استعمال کرتے ہیں۔

خالص ریاضی: پرائمز کی تقسیم ریاضی کے سب سے گہرے حل نہ ہونے والے مسائل میں سے ایک ہے — ریمن ہائپوتھیسس۔

دلچسپ اہم حقائق

  • سب سے بڑے معروف پرائم (2024 تک) میں 41 ملین سے زیادہ ہندسے ہیں۔
  • جڑواں پرائمز ایسے پرائمز ہیں جو 2 سے مختلف ہوتے ہیں (11 اور 13، 17 اور 19، 41 اور 43)
  • لامحدود طور پر بہت سے پرائمز ہیں - 300 قبل مسیح کے لگ بھگ یوکلڈ نے ثابت کیا۔
  • گولڈ باخ کا قیاس (1742 سے غیر ثابت): ہر جوڑ نمبر> 2 دو پرائمز کا مجموعہ ہے

اگلا پڑھیں