Là gì Black-Scholes Option Pricing?
▾
Mô hình Black-Scholes tính toán mức giá hợp lý của một quyền chọn kiểu Châu Âu - một hợp đồng cho bạn quyền, nhưng không có nghĩa vụ, mua (gọi) hoặc bán (đặt) một cổ phiếu ở một mức giá cố định vào một ngày cụ thể trong tương lai. Trước năm 1973, quyền chọn được định giá bằng trực giác và đàm phán. Fischer Black và Myron Scholes đã thay đổi mọi thứ bằng một phương trình duy nhất coi việc định giá quyền chọn là một sự chắc chắn về mặt toán học với năm đầu vào có thể quan sát được. Cùng với sự chắt lọc của Robert Merton, công trình này đã mang về cho Scholes và Merton giải thưởng Nobel Kinh tế năm 1997 và khai sinh ra thị trường phái sinh hiện đại trị giá hàng trăm nghìn tỷ đô la. Mô hình giả định giá cổ phiếu tuân theo một bước đi ngẫu nhiên với độ biến động không đổi, không có cổ tức và bạn có thể giao dịch liên tục mà không mất phí giao dịch. Trong thực tế, các nhà giao dịch sử dụng nó làm điểm chuẩn - họ nhập giá thị trường hiện tại để giải quyết ngược lại 'sự biến động ngụ ý', dự báo đồng thuận của thị trường về mức độ biến động của cổ phiếu. Mọi nhà giao dịch quyền chọn đều theo dõi sự biến động ngụ ý vì nó cho bạn biết liệu các quyền chọn đó rẻ hay đắt so với lịch sử. Nếu mức độ biến động ngụ ý cao, quyền chọn sẽ có giá cao hơn; nếu thấp, chúng có giá thấp hơn. Mô hình này có những hạn chế đã biết - nó đánh giá thấp khả năng xảy ra những biến động cực đoan của thị trường (đuôi mập) và phá vỡ các quyền chọn kiểu Mỹ có thể được thực hiện sớm - nhưng nó vẫn là điểm khởi đầu phổ biến cho tất cả các quyền chọn định giá và quản lý rủi ro.
Calkulon makes complex calculations simple — built for students and everyday problem-solvers.
Công thức
▾
Giá mua = S·N(d₁) − K·e^(−rT)·N(d₂)
Giá bán = K·e^(−rT)·N(−d₂) − S·N(−d₁)
d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)·T] / (σ·√T)
d₂ = d₁ − σ·√T
N(x) = hàm phân phối tích lũy chuẩn chuẩn hóaChú giải biến
▾
| Ký hiệu | Tên | Đơn vị | Mô tả |
|---|---|---|---|
| S | Giá cổ phiếu hiện tại | currency | Giá trị giá cổ phiếu hiện tại, đóng vai trò là tham số đầu vào quan trọng trong tính toán blackscholes và ảnh hưởng trực tiếp đến độ lớn cũng như độ chính xác của kết quả đầu ra được tính toán |
| K | Giá thực hiện | currency | Giá trị thực hiện, đóng vai trò là tham số đầu vào quan trọng trong phép tính black sches và ảnh hưởng trực tiếp đến cường độ cũng như độ chính xác của kết quả đầu ra được tính toán |
| r | Tỷ lệ không có rủi ro | % per year | Giá trị lãi suất phi rủi ro, đóng vai trò là thông số đầu vào quan trọng trong tính toán black sches và ảnh hưởng trực tiếp đến độ lớn và độ chính xác của kết quả đầu ra được tính toán |
| T | Thời gian hết hạn | years | Thời gian còn lại cho đến khi quyền chọn hết hạn, được biểu thị bằng năm (ví dụ: 90 ngày = 0,247 năm) |
| σ | Biến động | % per year | Độ lệch chuẩn hàng năm của lợi nhuận log của cổ phiếu; đầu vào quan trọng và duy nhất không thể quan sát được của mô hình |
Cách Black-Scholes Option Pricing
▾
- 1Tập hợp năm yếu tố đầu vào: giá cổ phiếu hiện tại (S), giá thực hiện (K), lãi suất phi rủi ro (r), thời gian hết hạn tính theo năm (T) và biến động dự kiến (σ).
- 2Tính d₁: công cụ này nắm bắt mức độ hiệu quả của quyền chọn, được điều chỉnh theo thời gian và mức độ biến động.
- 3Tính d₂ = d₁ − σ√T: đây là d₁ được điều chỉnh giảm do sự không chắc chắn trong đường đi của cổ phiếu.
- 4Tra cứu N(d₁) và N(d₂) từ phân phối chuẩn thông thường - những giá trị này thể hiện xác suất quyền chọn hết hạn bằng tiền.
- 5Đối với quyền chọn mua: nhân giá cổ phiếu với N(d₁) sau đó trừ đi giá thực hiện chiết khấu nhân với N(d₂).
- 6Đối với quyền chọn bán: sử dụng tính chẵn lẻ của quyền chọn bán hoặc công thức quyền chọn bán trực tiếp. Put = Gọi − S + K·e^(-rT).
- 7So sánh giá mẫu với giá thị trường; nếu chúng khác nhau, sự khác biệt được giải thích bằng một giả định về độ biến động khác - sự biến động ngụ ý đó là tín hiệu thực của thị trường.
Ví dụ có lời giải
▾
Quyền chọn trả bằng tiền (S=K) được giao dịch phổ biến nhất; giá của chúng nhạy cảm nhất với những thay đổi biến động.
Với cổ phiếu chính xác ở mức giá thực hiện, quyền chọn không có giá trị nội tại - tất cả 10,45 đô la là giá trị thời gian. Khoảng một nửa phí bảo hiểm đến từ khả năng cổ phiếu tăng trên 100 đô la và thành phần lãi suất (giá trị thời gian của tiền) chiếm một khoản chiết khấu nhỏ trong cuộc đình công.
Sự biến động cao làm tăng giá quyền chọn hết tiền một cách đáng kể - cổ phiếu có 6 tháng để tăng 25%.
Mặc dù mất giá 20% nhưng quyền chọn này có giá trị có ý nghĩa vì mức độ biến động ngụ ý cao (40%) và còn 6 tháng. Biến động hàng năm 40% có nghĩa là khoảng ±25% biến động trong 6 tháng nằm trong một độ lệch chuẩn, khiến cho việc tăng giá lên 100 USD là hợp lý.
Các quyền chọn bán sâu tiền có mức giá gần với giá trị nội tại (K−S=$30) với mức chênh lệch thời gian nhỏ.
Quyền chọn bán có giá trị gần như toàn bộ giá trị nội tại của nó là 30 đô la vì cho đến nay nó vẫn có lãi. Khoản chiết khấu nhỏ từ 30 USD phản ánh lãi suất phi rủi ro kiếm được khi chờ đợi (bạn có thể bán khống cổ phiếu và đầu tư 100 USD với lãi suất 3%). Phí bảo hiểm thời gian là nhỏ vì có rất ít sự không chắc chắn về việc liệu quyền chọn bán này có hết hạn bằng tiền hay không.
Các nhà giao dịch sử dụng Black-Scholes ngược lại để trích xuất dự báo biến động của thị trường từ giá quyền chọn.
Khi giá mô hình ở mức biến động 20% chỉ là 5,50 USD nhưng thị trường giao dịch ở mức 8,00 USD, thì thị trường đang ám chỉ mức độ biến động cao hơn - khoảng 28,5%. Sự biến động ngụ ý này là tín hiệu thực sự: nó cho bạn biết thị trường kỳ vọng những biến động lớn hơn mức trung bình. Các nhà giao dịch so sánh sự biến động ngụ ý với sự biến động lịch sử để quyết định xem các lựa chọn là rẻ hay đắt.
Ứng dụng thực tế
▾
Định giá cổ phiếu, chỉ số và quyền chọn ETF trên các sàn giao dịch trên toàn thế giới, cho phép người thực hành đưa ra các quyết định định lượng sáng suốt dựa trên các phương pháp tính toán đã được xác thực và các phương pháp tiếp cận theo tiêu chuẩn ngành, đòi hỏi phân tích định lượng chính xác để hỗ trợ các quyết định dựa trên bằng chứng, phân bổ nguồn lực chiến lược và tối ưu hóa hiệu suất trên các bối cảnh tổ chức đa dạng và các nguyên tắc chuyên môn
Định giá các lựa chọn cổ phiếu của nhân viên để báo cáo tài chính (ASC 718 / IFRS 2), giúp các nhà phân tích tạo ra kết quả chính xác hỗ trợ lập kế hoạch chiến lược, phân bổ nguồn lực và đo điểm chuẩn hiệu suất giữa các tổ chức, trong đó tính toán số chính xác là điều cần thiết để tạo ra kết quả đầu ra đáng tin cậy giúp lập kế hoạch, đánh giá và các quy trình cải tiến liên tục trong cả môi trường doanh nghiệp và cá nhân
Trích xuất sự biến động ngụ ý để xây dựng chỉ số VIX và các điểm chuẩn khối lượng khác, cho phép các chuyên gia định lượng kết quả một cách có hệ thống và so sánh các kịch bản bằng cách sử dụng các khung toán học đáng tin cậy và các công thức đã được thiết lập, yêu cầu các phương pháp tính toán có hệ thống giúp chuyển dữ liệu đầu vào thô thành thông tin chi tiết có thể hành động cho các bên liên quan phụ thuộc vào sự chặt chẽ về mặt định lượng trong hoạt động nghề nghiệp hàng ngày của họ
Sách tùy chọn phòng ngừa rủi ro sử dụng delta, gamma và vega được tính toán từ mô hình, hỗ trợ các quy trình đánh giá dựa trên dữ liệu trong đó độ chính xác bằng số là điều cần thiết cho các mục tiêu tuân thủ, báo cáo và tối ưu hóa, đòi hỏi các phương pháp tính toán mạnh mẽ mang lại kết quả nhất quán và có thể kiểm chứng phù hợp để báo cáo, kiểm toán và phân tích xu hướng dài hạn trong môi trường chuyên nghiệp
Trường hợp đặc biệt
▾
Cổ phiếu trả cổ tức
Mô hình chuẩn bỏ qua cổ tức. Đối với những cổ phiếu trả cổ tức đã biết, hãy trừ giá trị hiện tại của cổ tức dự kiến khỏi giá cổ phiếu hiện tại trước khi áp dụng công thức. Đối với lợi tức cổ tức liên tục (phổ biến cho các quyền chọn chỉ số), hãy thay S bằng S·e^(−qT) trong đó q là lợi tức cổ tức liên tục - đây là phần mở rộng của Merton (1973).
Thời hạn sử dụng rất ngắn hoặc rất dài
Gần hết hạn (ngày), mô hình có thể tạo ra kết quả không chính xác nếu hàng tồn kho gần giá đình công — hàm xác suất trở nên rất nhạy cảm với những thay đổi đầu vào nhỏ. Đối với các quyền chọn có thời hạn rất dài (LEAPS, hơn 2 năm), sự không chắc chắn về lãi suất và xu hướng đảo chiều trung bình khiến cho các giả định về biến động không đổi ngày càng không thực tế.
Tùy chọn nhị phân và rào cản
Black-Scholes ở dạng tiêu chuẩn không định giá các quyền chọn ngoại lai như rào cản (các quyền chọn kích hoạt hoặc hủy kích hoạt ở ngưỡng giá) hoặc nhị phân (chi trả cố định nếu đáp ứng điều kiện). Những điều này đòi hỏi các công thức hoặc phương pháp số đã được sửa đổi, mặc dù các khối xây dựng Black-Scholes xuất hiện trong đạo hàm của chúng.
Giá quyền chọn mua gần đúng — S=$100, r=4%, T=0,5 năm
▾
| Tấn công (K) | σ=15% | σ=25% | σ=35% | σ=50% |
|---|---|---|---|---|
| $80 (ITM sâu) | $21,50 | $22,60 | $24,10 | $26,80 |
| $95 (ITM nhẹ) | $7,80 | $9,90 | $12,10 | $15,30 |
| $100 (ATM) | $4,30 | $7,10 | $9,80 | $13,50 |
| $105 (một chút OTM) | $2,00 | $4,90 | $7,60 | $11,40 |
| $120 (OTM sâu) | 0,10 USD | $1,20 | $3,20 | $7,00 |
Câu hỏi thường gặp
▾
Biến động ngụ ý là gì và tại sao nó lại quan trọng?
Biến động ngụ ý (IV) là giá trị biến động mà khi áp dụng vào công thức Black-Scholes sẽ tạo ra giá thị trường hiện tại của quyền chọn. Nó đại diện cho dự báo đồng thuận của thị trường về biến động giá trong tương lai. Khi IV cao, quyền chọn đắt tiền - thị trường lo ngại những biến động lớn. Khi IV thấp, các lựa chọn sẽ rẻ. Các nhà giao dịch so sánh IV hiện tại với biến động lịch sử để tìm ra các lựa chọn được định giá quá cao hoặc quá thấp. Chỉ số VIX, thường được gọi là 'thước đo nỗi sợ hãi', là mức độ biến động ngụ ý của các quyền chọn S&P 500.
Tại sao Black-Scholes không thể định giá quyền chọn Mỹ một cách chính xác?
Quyền chọn kiểu Mỹ có thể được thực hiện bất kỳ lúc nào trước khi hết hạn, điều này tạo ra phí quyền chọn sớm mà Black-Scholes không thể nắm bắt được bằng công thức dạng đóng của nó. Đối với quyền chọn mua của người Mỹ đối với cổ phiếu không trả cổ tức, việc thực hiện sớm không bao giờ là tối ưu (tốt hơn là bạn nên bán quyền chọn), vì vậy giá quyền chọn Black-Scholes là chính xác. Đối với các quyền chọn bán và quyền chọn bán cổ phiếu trả cổ tức của người Mỹ, những người thực hành sử dụng cây nhị thức (mô hình Cox-Ross-Rubinstein) hoặc các phương pháp số như sơ đồ sai phân hữu hạn.
Nụ cười biến động là gì và tại sao nó lại xảy ra?
Nếu Black-Scholes hoàn toàn chính xác thì mức độ biến động ngụ ý sẽ không đổi đối với tất cả các mức giá thực hiện. Trong thực tế, quyền chọn bán hết tiền (bảo hiểm tai nạn) giao dịch với mức độ biến động ngụ ý cao hơn so với quyền chọn ngang giá và quyền chọn mua hết tiền đôi khi cũng cho thấy IV tăng cao. Mô hình này - được gọi là nụ cười biến động hoặc độ lệch - phản ánh nỗi sợ hãi của những người tham gia thị trường về các sự kiện đuôi mà Black-Scholes đánh giá thấp. Nó nổi lên nổi bật sau vụ sụp đổ thị trường chứng khoán năm 1987.
Delta cho tôi biết điều gì về một lựa chọn?
Delta (∂V/∂S) cho bạn biết giá quyền chọn thay đổi bao nhiêu khi cổ phiếu biến động 1 đô la. Hệ số delta bằng 0,60 có nghĩa là giá quyền chọn tăng thêm 0,60 USD khi cổ phiếu tăng 1 USD. Delta cũng ước tính xác suất quyền chọn hết hạn khi được trả bằng tiền: quyền chọn mua delta 0,60 có khoảng 60% khả năng hết hạn bằng tiền. Các nhà giao dịch sử dụng đồng bằng để phòng ngừa rủi ro: để 'trung lập với đồng bằng', bạn nắm giữ cổ phần theo tỷ lệ đồng bằng của quyền chọn để bù đắp rủi ro định hướng.
Sự phân rã theo thời gian (theta) ảnh hưởng đến giá trị quyền chọn như thế nào?
Các quyền chọn sẽ mất giá trị khi thời hạn đến gần - sự xói mòn này được gọi là sự suy giảm thời gian hoặc theta. Tất cả những điều khác đều như nhau, một quyền chọn sẽ mất giá trị hàng ngày chỉ đơn giản là theo thời gian. Các quyền chọn trả bằng tiền có mức giảm thời gian tuyệt đối cao nhất; các lựa chọn nhiều tiền hoặc nhiều tiền có theta thấp hơn. Đây là lý do tại sao quyền chọn mua yêu cầu cổ phiếu di chuyển đủ để bù đắp sự xói mòn giá trị theo thời gian đang diễn ra - người mua quyền chọn chống lại sự suy giảm thời gian mỗi ngày họ giữ một vị thế.
Black-Scholes có thể được sử dụng cho các tùy chọn tiền điện tử không?
Có, với những cảnh báo quan trọng. Black-Scholes có thể định giá các quyền chọn tiền điện tử nếu bạn nhập mức độ biến động ngụ ý thích hợp. Giao dịch quyền chọn bitcoin trên Deribit và CME với IV thường dao động từ 50–150% - cao hơn nhiều so với thị trường chứng khoán. Giả định về độ biến động không đổi của mô hình thậm chí còn bị vi phạm nhiều hơn đối với tiền điện tử, nơi bản thân sự biến động có tính biến động cao (thường được gọi là 'vol of vol'). Các mô hình phức tạp hơn như SABR hoặc Heston, cho phép biến động ngẫu nhiên, phù hợp hơn để định giá quyền chọn tiền điện tử chính xác.
Fischer Black là ai và tại sao ông ấy không được giải Nobel?
Fischer Black là một nhà toán học ứng dụng và kinh tế tài chính, người đã đồng phát triển mô hình này với Myron Scholes. Ông làm việc tại Goldman Sachs và áp dụng mô hình này vào thực tế. Giải Nobel Kinh tế được trao năm 1997 cho Scholes và Robert Merton vì công trình nghiên cứu về phương pháp định giá quyền chọn. Fischer Black qua đời vì bệnh ung thư vòm họng vào tháng 8 năm 1995 - hai năm trước khi được trao giải. Giải Nobel không được trao sau khi chết nên Black được công nhận rõ ràng nhưng không thể nhận giải.
Lỗi thường gặp cần tránh
▾
- !Sử dụng trực tiếp biến động lịch sử - mô hình nên sử dụng biến động ngụ ý hoặc ước tính hướng tới tương lai, không phải quá khứ. Việc sử dụng khối lượng lịch sử gần đây có thể định giá thấp các quyền chọn trước các sự kiện không ổn định như thu nhập.
- !Cắm thời gian theo ngày mà không cần chuyển sang năm — T phải tính bằng năm (ngày/365 hoặc ngày/252 đối với ngày giao dịch).
- !Bỏ qua việc trả cổ tức cho các cổ phiếu trả cổ tức — việc bỏ qua việc điều chỉnh cổ tức sẽ định giá quá cao đáng kể các quyền chọn mua và đánh giá thấp quyền chọn bán của những người trả cổ tức gần ngày hết hạn.
- !Coi đầu ra của mô hình là giá thị trường 'chính xác' - mô hình là chuẩn mực; quyền chọn thực tế giao dịch ở mức giá được xác định bởi cung cầu và tính thanh khoản.
Mẹo Chuyên Nghiệp
Khi so sánh các quyền chọn theo thời gian thực hiện hoặc đáo hạn, hãy so sánh mức độ biến động ngụ ý thay vì giá quyền chọn. Một quyền chọn có thể trông rẻ nếu xét theo đồng đô la nhưng đắt về mặt biến động. Luôn bình thường hóa bằng cách nhìn vào bề mặt IV — bản đồ 3D về sự biến động ngụ ý giữa các thời điểm thực hiện và kỳ hạn — để xác định các cơ hội giá trị tương đối.
Bạn có biết?
Mô hình Black-Scholes cho phép Sàn giao dịch quyền chọn Chicago Board (CBOE) mở cửa vào tháng 4 năm 1973 - đúng vào cùng tháng mà bài báo được xuất bản. Trong vòng mười năm, khối lượng giao dịch quyền chọn đã bùng nổ từ hàng nghìn đến hàng triệu hợp đồng mỗi ngày. Công thức này có tác động mạnh mẽ đến mức Texas Instruments đã sản xuất một máy tính bỏ túi đặc biệt được lập trình sẵn với Black-Scholes ngay sau khi xuất bản.
Regional Guides
▾
🇺🇸 US▾
🇬🇧 UK▾
🇪🇺 EU▾
Tài liệu tham khảo
Ratings & comments
Nhận Mẹo Toán Hàng Tuần
Tham gia cùng 12.000+ người đăng ký để nhận mẹo về máy tính mỗi tuần.