Phân phối xác suất nhị thức trả lời câu hỏi cơ bản: nếu một sự kiện có xác suất thành công đã biết, xác suất để đạt được chính xác một số lượng nhất định thành công trong một số lần thử nghiệm độc lập cố định là bao nhiêu? Điều này áp dụng cho kiểm soát chất lượng, kiểm tra y tế, tung đồng tiền và mọi nơi xảy ra số lần thử nghiệm có/không cố định.

Công Thức

Công thức xác suất nhị thức tính xác suất của đúng k lần thành công trong n lần thử nghiệm độc lập:

P(X = k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)

Trong đó:

  • n = số lần thử nghiệm
  • k = số lần thành công mong muốn
  • p = xác suất thành công trong mỗi lần thử
  • C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) — số tổ hợp

C(n,k) cho biết có bao nhiêu cách sắp xếp k lần thành công trong n lần thử.

Ví Dụ Giải Được

Một thanh tra chất lượng lấy ngẫu nhiên 10 bóng đèn từ lô hàng có tỷ lệ lỗi 5% đã biết. Xác suất để đúng 2 bóng đèn bị lỗi là bao nhiêu?

  • n = 10 lần thử
  • k = 2 lần thành công (lỗi)
  • p = 0.05 (tỷ lệ lỗi)
  • 1 - p = 0.95
C(10,2) = 10! / (2! × 8!) = 45
P(X = 2) = 45 × (0.05)^2 × (0.95)^8
P(X = 2) = 45 × 0.0025 × 0.6634 = 0.0746 hay 7.46%

Vì vậy có 7.46% cơ hội tìm thấy đúng 2 bóng đèn bị lỗi trong mẫu đó.

Xác Suất Liên Quan

Thường bạn muốn xác suất tích lũy — "nhiều nhất 2 lỗi" hoặc "ít nhất 2 lỗi":

  • P(X ≤ k): Tính tổng tất cả xác suất từ 0 đến k
  • P(X ≥ k): Tính tổng tất cả xác suất từ k đến n

Với n lớn, phân phối nhị thức xấp xỉ phân phối chuẩn, vì vậy điểm z và bảng chuẩn thường được dùng thay thế.

Khi Nào Dùng Xác Suất Nhị Thức

Dùng phân phối này khi:

  • Có số lần thử nghiệm cố định
  • Mỗi lần thử có hai kết quả (thành công/thất bại, lỗi/tốt, có/không)
  • Xác suất thành công là hằng số
  • Các lần thử độc lập nhau

Ứng dụng phổ biến bao gồm hiệu quả của thử nghiệm lâm sàng thuốc, khảo sát bầu cử, tỷ lệ lỗi sản xuất và dự đoán kết quả trò chơi.

Mẹo

Công thức nhị thức trở nên nặng về mặt tính toán với n lớn — máy tính và phần mềm thống kê là thiết yếu. Hãy nhớ rằng công thức này giả định các sự kiện độc lập có xác suất hằng số; nếu những giả định đó không đúng, kết quả sẽ không chính xác.

Sử dụng máy tính xác suất nhị thức của chúng tôi để tính toán xác suất ngay lập tức mà không cần tính thủ công.