Phương trình bậc ba là đa thức bậc 3, có dạng tổng quát ax³ + bx² + cx + d = 0. Không giống như phương trình bậc hai, phương trình bậc ba có thể có 1, 2 hoặc 3 nghiệm thực và không có công thức dạng đóng đơn giản mà hầu hết mọi người đều học ở trường. Tuy nhiên, chúng có thể giải được bằng công thức của Cardano hoặc phương pháp số.
Mẫu chung
ax³ + bx² + cx + d = 0
Trong đó a ≠ 0 (nếu không thì nó không phải là lập phương). Phương trình có thể có:
- 3 rễ thực sự riêng biệt
- 1 nghiệm thực và 2 nghiệm liên hợp phức
- Một gốc lặp lại (khi biệt thức bằng 0)
Công thức của Cardano
Để sử dụng công thức Cardano, trước tiên hãy nhấn bậc ba (loại bỏ số hạng x²) bằng cách thay thế x = t - b/(3a):
t³ + pt + q = 0
Sau đó, các nghiệm được tìm thấy bằng cách sử dụng một công thức phức tạp liên quan đến yếu tố phân biệt:
Δ = -4p³ - 27q²
Nếu Δ > 0: ba nghiệm thực phân biệt Nếu Δ = 0: có ít nhất hai nghiệm thực bằng nhau Nếu Δ < 0: một nghiệm thực và hai nghiệm liên hợp phức
Ví dụ đã hoạt động
Giải x³ - 6x² + 11x - 6 = 0
Bằng cách kiểm tra hoặc thử nghiệm, chúng ta có thể kiểm tra các số nguyên nhỏ. Kiểm tra x = 1:
1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓
Vậy x = 1 là nghiệm. Phân tích thành nhân tử (x - 1):
(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0
Ba nghiệm là x = 1, 2, 3.
Tìm nghiệm không cần phân tích nhân tử
Đối với các phương trình bậc ba không có hệ số tốt, hãy sử dụng:
- Công thức Cardano (chính xác về mặt đại số nhưng phức tạp)
- Các phương pháp số như Newton-Raphson (lặp đi lặp lại, tìm từng nghiệm một)
- Vẽ đồ thị ước lượng nghiệm và tinh chỉnh bằng Newton-Raphson
Ứng dụng
Phương trình bậc ba xuất hiện trong:
- Kỹ thuật (phân tích ứng suất-biến dạng, động lực học chất lỏng)
- Vật lý (chuyển động của đạn trong môi trường có lực cản, vật liệu hình khối)
- Kinh tế (bài toán tối ưu hóa, đường cong chi phí sản xuất)
- Đồ họa máy tính (đường cong Bézier khối)
Mẹo
Nếu bạn nghi ngờ các nghiệm hữu tỉ, hãy sử dụng Định lý nghiệm hữu tỷ: bất kỳ nghiệm hữu tỉ nào p/q đều có p chia d và q chia a. Điều này thu hẹp đáng kể các ứng viên thử nghiệm của bạn. Luôn xác minh gốc bằng cách thay thế.
Sử dụng [Bộ giải phương trình bậc ba](/en/math/com tích/bộ giải phương trình bậc ba) của chúng tôi để tìm tất cả các nghiệm ngay lập tức, dù là thực hay phức.