关键术语

在学习公式之前，先了解基本概念：

术语 符号 定义
半径 r 从圆心到边缘的距离
直径 d 穿过圆心的距离 (d = 2r)
周长 C 圆周一圈的距离
面积 A 圆内部的空间
圆周率 π 数学常数 ≈ 3.14159

计算周长

周长是围绕圆一圈的总距离。

公式： $$C = 2\pi r \quad ext{或} \quad C = \pi d$$

示例： 半径 = 5 cm

$$C = 2 imes 3.14159 imes 5 = 31.42 ext{ cm}$$

计算面积

面积是圆所占据的空间。

公式： $$A = \pi r^2$$

示例： 半径 = 5 cm

$$A = 3.14159 imes 5^2 = 78.54 ext{ cm}^2$$

反向计算

如果已知周长或面积：

已知 求 公式
周长 C 半径 r = C / (2π)
面积 A 半径 r = √(A / π)
周长 C 直径 d = C / π

示例： 一块圆形田地的周长为 150 m。

  • 半径：r = 150 / (2π) = 23.87 m
  • 面积：A = π × 23.87² ≈ 1,790 m²

实际应用示例

管道横截面： 直径 = 40 mm → r = 20 mm $$A = \pi imes 20^2 = 400\pi pprox 1{,}257 ext{ mm}^2$$

跑道： 半径 = 40 m $$C = 2\pi imes 40 = 80\pi pprox 251.3 ext{ m}$$

比萨饼对比：

  • 1 个 14 英寸比萨：A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 in²
  • 2 个 10 英寸比萨：A = 2 × π × 5² = 50π ≈ 157.1 in²

两个小比萨加起来面积稍大！

扇形和弧

扇形是圆的一个"披萨切片"。

弧长： $$L = rac{ heta}{360} imes 2\pi r \quad ext{（度）}$$ $$L = heta r \quad ext{（弧度）}$$

扇形面积： $$A = rac{ heta}{360} imes \pi r^2 \quad ext{（度）}$$ $$A = rac{1}{2}r^2 heta \quad ext{（弧度）}$$

示例： 45° 扇形，r = 8 cm

  • 弧长：(45/360) × 2π × 8 ≈ 6.28 cm
  • 扇形面积：(45/360) × π × 64 ≈ 25.13 cm²

圆环（环形区域）

圆环是两个同心圆之间的区域。

$$A = \pi(R^2 - r^2)$$

示例： 外半径 R = 10 m，内半径 r = 7 m $$A = \pi(100 - 49) = 51\pi pprox 160.2 ext{ m}^2$$

公式总结

公式 表达式
周长 C = 2πr = πd
面积 A = πr²
从周长求半径 r = C/(2π)
从面积求半径 r = √(A/π)
弧长 L = (θ/360) × 2πr
扇形面积 A = (θ/360) × πr²
圆环 A = π(R² − r²)

使用我们的圆周长和面积计算器进行快速计算。