三次方程是 3 次多项式，一般形式为 ax³ + bx² + cx + d = 0。与二次方程不同，三次方程可以有 1、2 或 3 个实数解，并且没有大多数人在学校学习的简单封闭式公式。然而，它们可以使用卡尔达诺的公式或数值方法来解决。

一般形式

ax³ + bx² + cx + d = 0

其中 a ≠ 0 （否则它不是三次方）。该方程可以有：

  • 3个不同的实根
  • 1 个实数根和 2 个复共轭根
  • 重复根（当判别式为零时）

卡尔达诺公式

要使用卡尔达诺公式，首先通过代入 x = t - b/(3a) 来降低三次（消除 x² 项）：

t³ + pt + q = 0

然后使用涉及判别式的复杂公式找到根：

Δ = -4p³ - 27q²

如果 Δ > 0：三个不同的实根 如果 Δ = 0：至少有两个相等的实根 如果 Δ < 0：一个实数根和两个复共轭根

工作示例

求解 x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0

通过检查或试验，我们可以测试小整数。测试 x = 1：

1 - 6 + 11 - 6 = 0 ✓

所以 x = 1 是一个根。因式分解 (x - 1)：

(x - 1)(x² - 5x + 6) = 0
(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0

三个根是 x = 1, 2, 3。

不因式分解求根

对于不能很好分解的三次方程，请使用： 1.卡尔达诺公式（代数上精确但复杂） 2.像Newton-Raphson这样的数值方法（迭代，一次找到一个根） 3. 绘图以估计根并使用 Newton-Raphson 进行细化

应用

三次方程出现在：

  • 工程（应力应变分析、流体动力学）
  • 物理学（阻力介质、立方体材料中的抛射运动）
  • 经济学（优化问题、生产成本曲线）
  • 计算机图形学（三次贝塞尔曲线）

＃＃ 尖端

如果您怀疑有理根，请使用有理根定理：任何有理根 p/q 都有 p 除 d 和 q 除 a。这大大缩小了您的测试候选范围。始终通过替换来验证根。

使用我们的三次方程求解器 立即找到所有根，无论是实根还是复根。