二次方程的形式为 ax² + bx + c = 0。有四种方法可以求解它们 - 知道使用哪种方法以及何时使用可以使代数运算变得更快。
标准表格
每个二次方程都可以写成：
ax² + bx + c = 0
其中 a ≠ 0（如果 a = 0，则为线性方程）。
示例：
- x² − 5x + 6 = 0 (a=1, b=−5, c=6)
- 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- x² − 9 = 0 (a=1, b=0, c=−9)
方法一：因式分解
当方程完全分解为整数时效果最佳。适用时最快的方法。
步骤： 1.以标准形式书写 2. 找到与 (a × c) 相乘并与 b 相加的两个数 3.通过分组拆分中间项和因子 4. 将每个因子设置为零
示例： x² − 5x + 6 = 0
- 需要两个数字：乘以 6，加至 −5 → −2 和 −3
- 因子：(x − 2)(x − 3) = 0
- 解：x = 2 或 x = 3
示例： 2x² + 5x + 3 = 0
- a × c = 6，需要因子加到 5 → 2 和 3
- 重写：2x² + 2x + 3x + 3 = 0
- 因子：2x(x + 1) + 3(x + 1) = 0
- 因子：(2x + 3)(x + 1) = 0
- 解：x = −3/2 或 x = −1
**何时使用：**当您可以快速发现因素时。如果 30 秒内没有找到因子，请切换方法。
方法 2：二次公式
适用于每个二次方程。当因式分解不明显时使用此选项。
x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)
示例： 2x² + 3x − 2 = 0 (a=2, b=3, c=−2)
- 判别式：b² − 4ac = 9 − (4 × 2 × −2) = 9 + 16 = 25
- √25 = 5
- x = (−3 ± 5) ÷ 4
- x = (−3 + 5) ÷ 4 = 0.5 或 x = (−3 − 5) ÷ 4 = −2
判别式：有多少个解？
表达式 b² − 4ac 在求解之前告诉您解的性质：
| 判别式 | 解决方案数量 | 类型 |
|---|---|---|
| b² − 4ac > 0 | 两个不同的实际解决方案 | 实数 |
| b² − 4ac = 0 | 一种重复解决方案 | 实数、等根 |
| b² − 4ac < 0 | 没有真正的解决方案 | 两个复数/虚根 |
示例： x² + 2x + 5 = 0
- 判别式 = 4 − 20 = −16 → 无实数解
- 复数解：x = (−2 ± √(−16)) ÷ 2 = −1 ± 2i
方法 3：完成平方
将方程变换为 (x + p)² = q 形式。对于理解顶点形式和推导二次公式至关重要。
步骤：
- 将常数移至右侧
- 除以 a（如果 a ≠ 1）
- 两边加上(b/2a)²
- 将左边分解为完全平方数
- 两边取平方根
示例： x² + 6x + 5 = 0
- x² + 6x = −5
- 两边加上 (6/2)² = 9：x² + 6x + 9 = 4
- (x + 3)² = 4 4.x+3=±2
- x = −1 或 x = −5
方法 4：绘图
解（根）是抛物线 y = ax² + bx + c 的 x 截距。
- 两个x截距→两个实数解
- 一个 x 轴截距（x 轴上的顶点）→ 一个重复解
- 没有 x 截距 → 没有实数解（复根）
何时使用： 用于视觉理解或使用图形计算器时。对于确切的答案不切实际。
选择正确的方法
| 情况 | 最佳方法 |
|---|---|
| 整数系数，看起来可以因式分解 | 首先进行保理 |
| 任何二次方程，需要精确答案 | 二次公式 |
| 理解顶点/最小值/最大值 | 完成正方形 |
| 视觉理解或近似 | 绘图 |
| b² − 4ac < 0 | 二次公式（给出复数根） |
快速参考：常见模式
平方差： x² − k² = (x + k)(x − k) = 0 → x = ±k
完美平方三项式： x² + 2kx + k² = (x + k)² = 0 → x = −k（重复）
没有中间项： ax² + c = 0 → x = ±√(−c/a) （仅当 c 和 a 具有相反符号时才为实数）
根的和与积
对于 ax2 + bx + c = 0 且根为 r₁ 和 r2：
r₁ + r₂ = −b/a
r₁ × r₂ = c/a
验证示例： x² − 5x + 6 = 0，根 2 和 3：
- 总和：2 + 3 = 5 = −(−5)/1 ✓
- 产品：2 × 3 = 6 = 6/1 ✓
使用我们的三次方程求解器求解 3 次方程，或将上面的二次公式应用于任何标准二次方程。