统计学是不确定性的语言——它是让我们从不完整的信息中得出结论的工具。无论您是在阅读新闻民意调查、解释临床试验结果，还是分析自己的数据，理解这些核心概念都将使您成为一个更具批判性的读者。
描述性统计：汇总数据
在分析数据之前，您需要对其进行描述。关键指标是集中趋势（中间在哪里？）和散布（数据的变化程度如何？）。
均值、中位数和众数
算术平均值是总和除以计数。这是最熟悉的平均值，但对异常值高度敏感。
中位数是数据排序时位于中间的值。它更加稳健——单个极值不会对其产生太大影响。
众数是最常见的值。对于分类数据有用；对于连续测量不太有用。
| 数据集 | 意思是 | 中位数 | 模式 |
|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 6, 8 | 4.8 | 4 | 4 |
| 2, 4, 4, 6, 100 | 23.2 | 4 | 4 |
请注意一个极值 (100) 如何显着改变平均值，但中位数保持不变。这就是为什么房价统计数据使用中位数——少数价值数百万英镑的豪宅会让平均价格产生误导。
标准差和方差
方差衡量与均值的平均平方偏差：
σ² = Σ(xi - x̄)² / n
标准差是方差的平方根——它的单位与原始数据相同，这使得它可以解释：
σ = √[Σ(xi - x̄)² / n]
正态分布数据的 68-95-99.7 规则：
- 68% 的值落在平均值的 1 个标准差范围内
- 95% 在 2 个标准差以内
- 99.7% 在 3 个标准差以内
注： 使用 n 作为总体标准差的分母；使用 n−1 进行样本估计（这称为贝塞尔校正并校正样本中发生的轻微低估）。
正态分布
正态（高斯）分布是自然界和统计中随处可见的钟形曲线。它由两个参数完整描述：平均值 (μ) 和标准差 (σ)。
z-score 将任何值转换为“与平均值的标准差有多少”：
z = (x - μ) / σ
z 分数 1.96 对应于第 97.5 个百分位 — 只有 2.5% 的分布位于该值之上。由于置信区间的原因，这种情况经常出现在统计数据中。
中心极限定理是正态分布如此重要的原因：无论原始总体的形状如何，随着样本量的增加，样本均值的分布会接近正态分布。这就是为什么即使原始数据不呈正态分布，许多统计检验也假设呈正态性。
置信区间
95% 置信区间并不意味着“真实值有 95% 的概率在此范围内”。这意味着：“如果我们多次重复此采样过程，我们计算的 95% 的间隔将包含真实值。”
对于大小为 n 的样本中的比例 p：
CI = p ± z × √(p(1-p)/n)
对于 95% 的置信度，z = 1.96。对于 99%，z = 2.576。
误差幅度只是±部分：z × √(p(1-p)/n)。当民意调查报告“±3 个百分点”时，这就是误差幅度。
假设检验
每个假设检验都遵循相同的结构：
- H₀（零假设）： 默认值 — 通常“没有影响”、“没有差异”、“没有关系”
- H₁（替代假设）： 你想要证明什么
- 检验统计量： 根据数据计算得出的数字，用于衡量数据与 H₀ 的距离
- p 值： 如果 H₀ 为真，则观察到至少此极端结果的概率
p 值解释
p 值为 0.03 意味着：“如果确实没有影响，我们只有 3% 的概率会偶然看到如此极端的数据。”这通常被认为足够重要以拒绝 H₀。
什么p < 0.05 并不意味着：
- 这并不意味着该效果有 95% 的可能性是真实的
- 这并不意味着效果实际上很重要
- 这并不意味着 H₀ 是假的
第一类和第二类错误：
| H₀ 为真 | H₀ 为假 | |
|---|---|---|
| 拒绝H₀ | I 类错误（误报） | 正确的 |
| 无法拒绝H₀ | 正确的 | II 类错误（假阴性） |
α（显着性水平）= I 类错误率，通常为 0.05 β = II 类错误率；功效 = 1 − β，通常目标为 0.80
t 检验
t 检验比较组间的平均值。双样本 t 统计量为：
t = (x̄₁ - x̄₂) / √(s₁²/n₁ + s₂²/n₂)
一个大|t|意味着各组相对于组内变异性而言相距甚远。与具有适当自由度的临界值进行比较（或计算 p 值）。
何时使用它： 当数据近似正态或 n > 时，比较独立组的两个平均值。 30.
＃＃ 相关性
Pearson r 衡量两个变量之间线性关系的强度：
- r = +1：完美的正线性关系
- r = 0：没有线性关系
- r = −1：完美负线性关系
r = Σ(xi - x̄)(yi - ȳ) / √[Σ(xi - x̄)² × Σ(yi - ȳ)²]
R²（r 平方）告诉您由 X 解释的 Y 中方差的比例。如果 r = 0.7，则 R² = 0.49 — X 解释了 Y 中 49% 的变异。
Spearman 的 ρ (rho) 执行相同的操作，但使用排名而不是原始值，使其对异常值具有鲁棒性并适合序数数据。
**记住：**相关性≠因果关系。冰淇淋销量和溺水率密切相关（均在夏季达到高峰），但冰淇淋不会导致溺水。
效果大小
统计显着性告诉您效果是否真实； 效应大小告诉您它有多大。用于比较两种均值的 Cohen d：
d = (μ₁ - μ₂) / σ_pooled
| 科恩的D | 解释 |
|---|---|
| 0.2 | 小的 |
| 0.5 | 中等的 |
| 0.8 | 大的 |
d = 0.1 的高度显着 p 值意味着您检测到了真实但微不足道的影响 - 可能是因为您的样本量很大。始终报告效应量和 p 值。
卡方检验
卡方 (χ2) 检验询问：“观察到的计数是否与我们偶然预期的不同？”
χ² = Σ (Observed - Expected)² / Expected
当您的数据是分类的时使用它 - 例如，测试骰子是否公平，或者治疗结果是否独立于治疗组。
选择正确的测试
| 情况 | 测试 |
|---|---|
| 将一个均值与已知值进行比较 | 单样本 t 检验 |
| 比较两个独立的均值 | 两样本 t 检验 |
| 比较两个配对的平均值 | 配对t检验 |
| 比较 3+ 平均值 | 方差分析 |
| 比较 3+ 平均值（非正常） | 克鲁斯卡尔-瓦利斯 |
| 两个连续变量之间的关联 | 皮尔逊/斯皮尔曼相关系数 |
| 比较类别比例 | 卡方 |
| 两组，非正态分布 | 曼惠特尼大学 |
常见错误
查看： 重复运行测试并在 p < 时停止。 0.05 会显着增大 I 类错误。在收集数据之前规划样本大小。
多重比较： 在 α = 0.05 下运行 20 次独立测试平均会产生 1 个误报。使用 Bonferroni 校正或控制错误发现率。
忽略假设： 大多数检验假设随机抽样、观察的独立性和（对于 t 检验）近似正态性。违反这些会破坏结果。