محيط ومساحة الدائرة - الصيغ والأمثلة العملية

تظهر الدوائر في كل مكان — العجلات، الأنابيب، الغرف الدائرية، البيتزا، الكواكب. هناك قياسان يعرّفان كل دائرة تعريفًا كاملًا: المحيط (المسافة حول الحافة) والمساحة (الفراغ الداخلي). كلاهما يُستنتج مباشرة من قيمة واحدة: نصف القطر.

المصطلحات الرئيسية

نصف القطر (r): المسافة من مركز الدائرة إلى أي نقطة على حافتها. هذا هو القياس الأساسي — جميع معادلات الدائرة تستخدمه.

القطر (d): المسافة عبر الدائرة من خلال المركز. يساوي دائمًا ضعف نصف القطر: d = 2r.

المحيط (C): محيط الدائرة — المسافة الإجمالية حول الحافة الخارجية.

المساحة (A): مقدار الفراغ ثنائي الأبعاد المحاط بالدائرة.

π (باي): نسبة محيط أي دائرة إلى قطرها. وهي عدد غير نسبي (لا نهائي وغير متكرر) يساوي تقريبًا 3.14159265...

معادلة المحيط

C = 2πr    أو بالمعنى نفسه    C = πd

مثال: دائرة نصف قطرها 5 سم

C = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31.42 سم

بدلالة القطر: إذا كان القطر معطى مباشرة:

C = π × d = π × 10 = 10π ≈ 31.42 سم

كلا الطريقتين يعطيان نفس النتيجة — اختر القياس الذي لديك.

معادلة المساحة

A = πr²

مثال: نفس الدائرة بنصف قطر 5 سم

A = π × 5² = 25π ≈ 78.54 سم²

ملاحظة: المساحة دائمًا بـ وحدات مربعة (سم²، م²، بوصة²). المحيط بوحدات طولية (سم، م، بوصة).

الحساب العكسي من المحيط أو المساحة

أحيانًا تعرف المحيط أو المساحة وتحتاج إلى إيجاد نصف القطر.

نصف القطر من المحيط:

r = C / (2π)

نصف القطر من المساحة:

r = √(A / π)

القطر من المحيط:

d = C / π

مثال: حقل دائري محيطه 150 م. ما مساحته؟

الخطوة 1: أوجد نصف القطر

r = 150 / (2π) = 150 / 6.2832 = 23.87 م

الخطوة 2: أوجد المساحة

A = π × 23.87² = π × 569.8 ≈ 1,790 م²

أمثلة عملية شائعة

مقطع أنبوب دائري

أنبوب قطره الداخلي 40 ملم. ما مساحة مقطعه العرضي؟

r = 40 / 2 = 20 ملم
A = π × 20² = 400π ≈ 1,257 ملم²

يهم هذا الأمر في حسابات معدل التدفق — المساحة تحدد كمية السائل المارة عبره.

مضمار الجري

مضمار جري دائري نصف قطره 40 م. ما المسافة في جولة واحدة؟

C = 2π × 40 = 80π ≈ 251.3 م

مقارنة أحجام البيتزا

هل بيتزا قطرها 14 بوصة أفضل من بيتزتين قطر كل منهما 10 بوصات؟

بيتزا 14 بوصة:

A = π × 7² = 49π ≈ 153.9 بوصة²

بيتزتان 10 بوصة:

A = 2 × π × 5² = 2 × 25π = 50π ≈ 157.1 بوصة²

بيتزتان 10 بوصة تعطيان كمية أكبر بقليل — لكن فقط إذا كان السعر مماثلاً.

القطاعات والأقواس

القطاع هو "شريحة" من الدائرة (كشريحة فطيرة)، يُحدَّد بزاوية مركزية θ.

طول القوس (الحافة المنحنية للقطاع):

قوس = (θ / 360) × 2πr    [درجات]
قوس = θr                   [راديان]

مساحة القطاع:

مساحة القطاع = (θ / 360) × πr²    [درجات]
مساحة القطاع = ½r²θ               [راديان]

مثال: قطاع نصف قطره 8 سم وزاويته المركزية 45°

طول القوس = (45 / 360) × 2π × 8 = (1/8) × 16π = 2π ≈ 6.28 سم
مساحة القطاع = (45 / 360) × π × 64 = (1/8) × 64π = 8π ≈ 25.13 سم²

الحلقة (الدائرة المجوفة)

الحلقة هي المنطقة بين دائرتين متحدتي المركز نصف قطرهما R (خارجي) وr (داخلي).

مساحة الحلقة = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r)

مثال: حدود دائرية نصف قطرها الخارجي 10 م والداخلي 7 م:

المساحة = π(10² − 7²) = π(100 − 49) = 51π ≈ 160.2 م²

ملخص المعادلات

القياس	المعادلة
المحيط	C = 2πr = πd
المساحة	A = πr²
نصف القطر من C	r = C / (2π)
نصف القطر من A	r = √(A/π)
طول القوس (درجات)	قوس = (θ/360) × 2πr
مساحة القطاع (درجات)	A = (θ/360) × πr²
مساحة الحلقة	A = π(R² − r²)

استخدم حاسبة الدائرة لحساب أي قياس — أدخل أي قيمة واحصل على جميع القياسات الأخرى فورًا.